Usuari:VoltaQantic/proves: difer�ncia entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
perdona la intrusió, aquesta pàgina apareixia a Categoria:Pàgines amb error de referències buides, i he refet les refs amb problemes. Etiqueta: editor de codi 2017 |
||
| (32 revisions intermèdies per un altre usuari que no es mostra) | |||
| Línia 1: | Línia 1: | ||
En [[matemàtiques]], '''les identitats de Newton''', també conegudes com a '''fórmules de Girard-Newton''', donen relacions entre dos tipus de [[Polinomi simètric|polinomis simètrics]], és a dir, entre [[Polinomi simètric de suma de potències|les sumes de potències]] i [[Polinomi simètric elemental|els polinomis simètrics elementals]]. Avaluats a les [[Arrel d'una funció|arrels]] d'un [[polinomi]] mònic ''P'' en una variable, permeten expressar les sumes de les [[Potenciació|potències]] ''k''è de totes les arrels de ''P'' (comptades amb la seva multiplicitat) en termes dels coeficients de ''P'', sense trobar realment aquestes arrels. Aquestes identitats van ser trobades per [[Isaac Newton]] al voltant de 1666, aparentment en desconeixement del treball anterior (1629) d'[[Albert Girard]]. Tenen aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques, com ara [[Teoria de Galois|la teoria de Galois]], [[teoria d'invariants|la teoria invariant]], [[Teoria de grups|la teoria de grups]], [[Combinatòria|la combinatòria]], així com altres aplicacions fora de les matemàtiques, inclosa [[Relativitat general|la relativitat general]]. |
|||
'''{{Infotaula persona|nom=Leung Kwok-hung}} |
|||
== Enunciat matemàtic == |
|||
'''Leung Kwok-hung''' ( Chinese ; nascut el 27 de març de 1956), també conegut pel seu sobrenom de " '''cabell llarg''' " ({{Lang|zh-Hant-HK|長毛}}</link>),<ref>{{cite news |last1=Yung |first1=Chester |title=Hong Kong's Samson: 'Long Hair' Loses His Trademark Locks |url=/proxy/https://www.wsj.com/articles/BL-CJB-22647 |access-date=14 October 2020 |work=[[Wall Street Journal]] |date=10 June 2014 }}</ref><ref>{{cite news |last1=McLane |first1=Daisann |title=A Rebel in the Emperor's Court |url=/proxy/https://www.nytimes.com/2005/03/06/magazine/a-rebel-in-the-emperors-court.html |access-date=14 October 2020 |work=[[New York Times]] |date=6 March 2005 }}</ref> és un polític i activista social de Hong Kong. Va ser membre del [[Consell Legislatiu d'Hong Kong|Consell Legislatiu]], en representació dels [[Nous Territoris de l'Est|Nous Territoris Est]]. [[Trotskisme|Trotskista]] en la seva joventut, va ser membre fundador de la [[Lliga Marxista Revolucionària (Hong Kong)|Lliga Marxista Revolucionària]]. Es va convertir en una icona política amb els seus cabells llargs i la samarreta del [[Che Guevara]] a les protestes abans de ser elegit al Consell Legislatiu el 2004. El 2006, va cofundar un partit [[Socialdemocràcia|socialdemòcrata]], la [[Lliga dels Socialdemòcrates]] (LSD) de la qual va ser el president del 2012 al 2016. |
|||
=== Formulació en termes de polinomis simètrics === |
|||
Sigui ''x''<sub>1</sub> ,... , ''x<sub>n</sub>'' siguin variables, denoteu per ''a k''≥1 per ''p<sub>k</sub>'' (''x''<sub>1</sub>,..., ''x<sub>n</sub>'') la ''k''-esima '''suma de potències''' : |
|||
El 2017, va anunciar la seva candidatura per a les [[eleccions a Cap Executiu de Hong Kong de 2017|eleccions al cap de l'Executiu de 2017]], mitjançant una petició pública no oficial, però es va retirar després de no rebre prou signatures. El 14 de juliol de 2017, Leung va ser desqualificat pel tribunal per la seva manera de prestar jurament a la reunió inaugural del Consell Legislatiu el 12 d'octubre de 2016 com a conseqüència de la [[Controvèrsia sobre la presa de jurament del Consell Legislatiu de Hong Kong|controvèrsia de la prestació del jurament]].<ref name="TIME">{{cite magazine|url=/proxy/http://time.com/4856181/hong-kong-lawmakers-oath-china-disqualified/|title=Four More Hong Kong Lawmakers Ousted in a Blow to Democratic Hopes|magazine=TIME|date=14 July 2017|access-date=14 July 2017|archive-date=28 September 2018|archive-url=/proxy/https://web.archive.org/web/20180928121835/http://time.com/4856181/hong-kong-lawmakers-oath-china-disqualified/|url-status=live}}</ref> |
|||
== Vida primerenca i activisme social == |
|||
<math>p_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_i^k = x_1^k+\cdots+x_n^k,</math> |
|||
Leung va néixer el 27 de març de 1956 a Hong Kong en una família de la [[Guangdong|província de Guangdong]]. Nascut a [[Shau Kei Wan]], més tard es va traslladar a [[Finca Chai Wan|Chai Wan Estate]]. Es va criar en una sola família després que el seu pare marxés de casa quan Leung tenia sis anys, mentre que la seva mare era [[Amah (ocupació)|amah]] en una família britànica per mantenir la família i Leung va haver de viure amb familiars a Shau Kei Wan que en tenia set. nens. <ref name="20150830SCMP">{{Ref-web|url=/proxy/http://www.scmp.com/magazines/post-magazine/article/1852720/pictures-life-and-times-long-hair-activist-hong-kong|títol=My life: Activist and politician 'Long Hair' on prison, being banned from China and his amah mother|arxiuurl=/proxy/https://web.archive.org/web/20150830031946/http://www.scmp.com/magazines/post-magazine/article/1852720/pictures-life-and-times-long-hair-activist-hong-kong|arxiudata=30 August 2015|data=26 August 2015|nom=Annemarie|cognom=Evans|obra=[[South China Morning Post]]}}</ref> |
|||
i per ''k''≥0 denotem amb ''e<sub>k</sub>'' (''x''<sub>1</sub>,..., ''x<sub>n</sub>'') el [[polinomi simètric elemental]] (és a dir, la suma de tots els productes diferents de ''k'' variables diferents), de manera que |
|||
<math>\begin{align} |
|||
e_0(x_1, \ldots, x_n) &= 1,\\ |
|||
e_1(x_1, \ldots, x_n) &= x_1 + x_2 + \cdots + x_n,\\ |
|||
e_2(x_1,\ldots,x_n) &= \sum_{1 \leq i<j\leq n}x_ix_j,\\ |
|||
&\;\;\vdots \\ |
|||
e_n(x_1, \ldots, x_n) &= x_1 x_2 \cdots x_n,\\ |
|||
e_k(x_1, \ldots, x_n) &= 0, \quad\text{for}\ k>n.\\ |
|||
\end{align}</math> |
|||
Aleshores les identitats de Newton es poden afirmar com |
|||
<math> ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math> |
|||
vàlid per a tots {{Math|''n'' ≥ ''k'' ≥ 1}}. |
|||
A més, un té |
|||
<math> 0 = \sum_{i=k-n}^k(-1)^{i-1} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math> |
|||
per a tot {{Math|''k'' > ''n'' ≥ 1}}. |
|||
Concretament, s'obté per als primers valors de ''k'' : |
|||
<math>\begin{align} |
|||
e_1(x_1, \ldots, x_n) &= p_1(x_1, \ldots, x_n),\\ |
|||
2e_2(x_1, \ldots, x_n) &= e_1(x_1, \ldots, x_n)p_1(x_1, \ldots, x_n) - p_2(x_1, \ldots, x_n),\\ |
|||
3e_3(x_1, \ldots, x_n) &= e_2(x_1, \ldots, x_n)p_1(x_1, \ldots, x_n) - e_1(x_1, \ldots, x_n)p_2(x_1, \ldots, x_n) + p_3(x_1, \ldots, x_n). |
|||
\end{align}</math> |
|||
La forma i la validesa d'aquestes equacions no depenen del nombre ''n'' de variables (tot i que el punt on el costat esquerre esdevé 0 ho fa, és a dir, després de la ''n''-èsima identitat), que permet declarar-les com a identitats en l'[[anell de funcions simètriques]]. En aquest anell un té |
|||
<math>\begin{align} |
|||
e_1 &= p_1,\\ |
|||
2e_2 &= e_1p_1-p_2 = p_1^2-p_2,\\ |
|||
3e_3 &= e_2p_1 - e_1p_2 + p_3 = \tfrac12 p_1^3-\tfrac32p_1p_2+p_3,\\ |
|||
4e_4 &= e_3p_1 - e_2p_2 + e_1p_3 - p_4 = \tfrac16p_1^4 - p_1^2p_2 + \tfrac43p_1p_3+\tfrac12p_2^2-p_4,\\ |
|||
\end{align}</math> |
|||
i així successivament; aquí els costats esquerres mai es converteixen en zero. Aquestes equacions permeten expressar recursivament l' ''e'' <sub>''i''</sub> en termes de la ''p'' <sub>''k''</sub> ; per poder fer la inversa, es pot reescriure com |
|||
<math>\begin{align} |
|||
p_1 &= e_1,\\ |
|||
p_2 &= e_1p_1-2e_2 = e_1^2 - 2e_2,\\ |
|||
p_3 &= e_1p_2 - e_2p_1 + 3e_3 = e_1^3-3e_1e_2+3e_3,\\ |
|||
p_4 &= e_1p_3 - e_2p_2 + e_3p_1 - 4e_4 = e_1^4-4e_1^2e_2+4e_1e_3+2e_2^2-4e_4, \\ |
|||
& {}\ \ \vdots |
|||
\end{align}</math> |
|||
En general, en tenim |
|||
<math> p_k(x_1,\ldots,x_n) = (-1)^{k-1}ke_k(x_1,\ldots,x_n)+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math> |
|||
vàlid per a tots ''n'' ≥ ''k'' ≥ 1. |
|||
=== Aplicació a les arrels d'un polinomi === |
|||
Leung es va educar a l' [[IES Clementi|escola secundària Clementi]]. Leung atribueix el seu despertar polític a la [[Revolució Cultural]] i als [[Avalots d'esquerres a Hong Kong de 1967|disturbis de Hong Kong de 1967]], participant en el "moviment estudiantil [[Maoisme|maoista]]". Ell i la seva mare eren membres de la [[Federació de Sindicats de Hong Kong]] (HKFTU), el sindicat d'esquerres procomunista de l'època. Després de les caigudes de [[Lin Biao]] i la [[Banda dels Quatre|Colla dels Quatre]] que van aixafar l'idealisme maoista, Leung va reflectir la seva creença política i es va aprofundir en [[Trotskisme|el trotskisme]] sota la influència de les icones de l'activisme social d'aquella època com [[Ng Chung-yin]]. |
|||
Revisió de 16:29, 22 oct 2024
| Biografia |
|---|
Leung Kwok-hung ( Chinese ; nascut el 27 de març de 1956), també conegut pel seu sobrenom de " cabell llarg " (長毛</link>),[1][2] és un polític i activista social de Hong Kong. Va ser membre del Consell Legislatiu, en representació dels Nous Territoris Est. Trotskista en la seva joventut, va ser membre fundador de la Lliga Marxista Revolucionària. Es va convertir en una icona política amb els seus cabells llargs i la samarreta del Che Guevara a les protestes abans de ser elegit al Consell Legislatiu el 2004. El 2006, va cofundar un partit socialdemòcrata, la Lliga dels Socialdemòcrates (LSD) de la qual va ser el president del 2012 al 2016.
El 2017, va anunciar la seva candidatura per a les eleccions al cap de l'Executiu de 2017, mitjançant una petició pública no oficial, però es va retirar després de no rebre prou signatures. El 14 de juliol de 2017, Leung va ser desqualificat pel tribunal per la seva manera de prestar jurament a la reunió inaugural del Consell Legislatiu el 12 d'octubre de 2016 com a conseqüència de la controvèrsia de la prestació del jurament.[3]
Vida primerenca i activisme social
[modifica]Leung va néixer el 27 de març de 1956 a Hong Kong en una família de la província de Guangdong. Nascut a Shau Kei Wan, més tard es va traslladar a Chai Wan Estate. Es va criar en una sola família després que el seu pare marxés de casa quan Leung tenia sis anys, mentre que la seva mare era amah en una família britànica per mantenir la família i Leung va haver de viure amb familiars a Shau Kei Wan que en tenia set. nens. [4]
Leung es va educar a l' escola secundària Clementi. Leung atribueix el seu despertar polític a la Revolució Cultural i als disturbis de Hong Kong de 1967, participant en el "moviment estudiantil maoista". Ell i la seva mare eren membres de la Federació de Sindicats de Hong Kong (HKFTU), el sindicat d'esquerres procomunista de l'època. Després de les caigudes de Lin Biao i la Colla dels Quatre que van aixafar l'idealisme maoista, Leung va reflectir la seva creença política i es va aprofundir en el trotskisme sota la influència de les icones de l'activisme social d'aquella època com Ng Chung-yin.
Referències
[modifica]- ↑ «Hong Kong's Samson: 'Long Hair' Loses His Trademark Locks». Wall Street Journal, 10-06-2014.
- ↑ «A Rebel in the Emperor's Court». New York Times, 06-03-2005.
- ↑ «Four More Hong Kong Lawmakers Ousted in a Blow to Democratic Hopes». TIME. 14 July 2017. Arxivat de l'original el 28 September 2018.
- ↑ Evans, Annemarie. «My life: Activist and politician 'Long Hair' on prison, being banned from China and his amah mother». South China Morning Post, 26-08-2015. Arxivat de l'original el 30 August 2015.