Usuari:VoltaQantic/proves: difer�ncia entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 11:31, 26 ago 2024

En matemàtiques, la integrabilitat és una propietat de certs sistemes dinàmics. Tot i que hi ha diverses definicions formals diferents, de manera informal, un sistema integrable és un sistema dinàmic amb prou quantitats conservades, o primeres integrals, que el seu moviment es limita a una subvarietat de dimensionalitat molt menor que la del seu espai de fases.

Referències

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
+En matemàtiques, '''la integrabilitat''' és una propietat de certs [[Sistema dinàmic|sistemes dinàmics]]. Tot i que hi ha diverses definicions formals diferents, de manera informal, un '''sistema integrable''' és un sistema dinàmic amb prou [[quantitat conservada|quantitats conservades]], o [[integral de moviment|primeres integrals]], que el seu moviment es limita a una subvarietat de dimensionalitat molt menor que la del seu [[espai de fases]].
-En [[Relativitat general|la relativitat general]], els '''espai-temps d'ones pp''', o per abreujar '''ones pp''', són una família important de [[sistema integrable|solucions exactes]] de [[Equacions de camp d'Einstein|l'equació de camp d'Einstein]]. El terme ''pp'' significa ''ones de front pla amb propagació paral·lela'', i va ser introduït el 1962 per [[Jürgen Ehlers]] i [[Wolfgang Kundt]].
-== Visió general ==
-Les solucions d'ones pp modelen [[Radiació|la radiació]] que es mou a la [[velocitat de la llum]]. Aquesta radiació pot consistir en:
-* [[radiació electromagnètica]],
-* [[Ona gravitacional|radiació gravitatòria]],
-* radiació sense massa associada amb [[Equació de Weyl|fermions de Weyl]],
-* radiació ''sense massa'' associada a algun hipotètic camp clàssic relativista de tipus diferent,
-o qualsevol combinació d'aquests, sempre que la radiació es mogui tota en la ''mateixa'' direcció.
-Un tipus especial d'espai-temps d'ones pp, els [[Plane wave spacetimes|espais-temps d'ones planes]], proporcionen l'analògic més general en relativitat general de les [[Ona plana|ones planes]] familiar als estudiants d'[[electromagnetisme]]. En particular, en la relativitat general, hem de tenir en compte els efectes gravitatoris de la densitat d'energia del propi [[camp electromagnètic]]. Quan fem això, ''les ones planes purament electromagnètiques'' proporcionen la generalització directa de les solucions ordinàries d'ones planes en [[Equacions de Maxwell|la teoria de Maxwell]].
-A més, en la relativitat general, les pertorbacions en el propi camp gravitatori es poden propagar, a la velocitat de la llum, com a "arrugues" en la curvatura de l'espai-temps. Aquesta ''radiació gravitatòria'' és l'anàleg del camp gravitatori de la radiació electromagnètica. En la relativitat general, l'analògic gravitacional de les ones planes electromagnètiques són precisament les [[Solució al buit (relativitat general)|solucions al buit]] entre els espais temps d'ones planes. S'anomenen ones [[Ona plana gravitatòria|planes gravitatòries]].
-Hi ha exemples físicament importants d'espai-temps d'ones pp que ''no'' són espai-temps d'ones planes. En particular, l'experiència física d'un observador que flueix per un objecte gravitatori (com una estrella o un forat negre) a gairebé la velocitat de la llum es pot modelar mitjançant un espai-temps ''impulsiu'' d'ones pp anomenat [[Aichelburg-Sexl ultraboost|ultraboost Aichelburg-Sexl]]. El camp gravitatori d'un feix de llum es modela, en relativitat general, per una certa ona pp [[Simetria esfèrica|simètrica axial]].
-Un exemple d'ona pp donada quan la gravetat està en presència de matèria és el camp gravitatori que envolta un fermió de Weyl neutre: el sistema consisteix en un camp gravitatori que és una ona pp, sense radiació electrodinàmica i un espinor sense massa que presenta simetria axial. A l'espai-temps de [[coordenades de Weyl–Lewis–Papapetrou|Weyl-Lewis-Papapetrou]], existeix un conjunt complet de solucions exactes tant per a la gravetat com per a la matèria. <ref>Cianci, R.; Fabbri, L.; Vignolo S., Exact solutions for Weyl fermions with gravity</ref>
-Les ones PP van ser introduïdes per [[Hans Brinkmann]] el 1925 i des de llavors han estat redescobertes moltes vegades, sobretot per [[Albert Einstein]] i [[Nathan Rosen]] el 1937.
-== Definició matemàtica ==
-Un ''espai-temps d'ona pp'' és qualsevol [[Varietat pseudoriemanniana|varietat Lorentziana]] el [[tensor mètric]] de la qual es pot descriure, respecte a [[Coordenades de Brinkmann|les coordenades de Brinkmann]], de la forma
-<math> ds^2 = H(u,x,y) \, du^2 + 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2</math>
-on <math>H</math> és qualsevol [[Suavitat d'una funció|funció suau]]. Aquesta era la definició original de Brinkmann, i té la virtut de ser fàcil d'entendre.
-La definició que ara és estàndard a la literatura és més sofisticada. No fa referència a cap gràfic de coordenades, de manera que és una definició [[Sense coordenades|lliure de coordenades]]. Afirma que qualsevol [[Varietat pseudoriemanniana|varietat lorentziana]] que admet un camp [[Vector nul|vectorial nul]] ''constant de forma covariant'' <math>k</math> s'anomena espai-temps d'ona pp. És a dir, la [[derivada covariant]] de <math>k</math> ha de desaparèixer de la mateixa manera:
-<math>\nabla k = 0.</math>
-Aquesta definició va ser introduïda per Ehlers i Kundt el 1962. Per relacionar la definició de Brinkmann amb aquesta, prengui <math>k = \partial_v</math>, el [[vector de coordenades]] ortogonal a les hipersuperfícies <math>v=v_0</math>. A la notació ''índex-gimnàstica'' per a les equacions tensorials, la condició activada <math>k</math> es pot escriure <math>k_{a ;b} = 0</math>.
-Cap d'aquestes definicions fa menció a cap equació de camp; de fet, són ''totalment independents de la física''. Les equacions d'Einstein al buit són molt simples per a ones pp, i de fet lineals: la mètrica <math> ds^2 = H(u,x,y) \, du^2 + 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2</math> obeeix aquestes equacions si i només si <math> H_{xx} + H_{yy} = 0</math>. Però la definició d'un espai-temps d'ona pp no imposa aquesta equació, de manera que és totalment matemàtica i pertany a l'estudi de [[Varietat pseudoriemanniana|la geometria pseudoriemanniana]]. A la següent secció ens referirem a ''les interpretacions físiques'' dels espai-temps d'ones pp.
-Ehlers i Kundt van donar diverses caracteritzacions més lliures de coordenades, com ara:
-* Una varietat lorentziana és una ona pp si i només si admet un subgrup d'isometries d'un paràmetre amb òrbites nul·les i el tensor de la curvatura de les quals té valors propis desapareguts.
-* Una varietat lorentziana amb una curvatura no evasiva és una ona pp (no trivial) si i només si admet un [[bivector]] constant covariant. (Si és així, aquest bivector és un bivector nul).
-== Interpretació física ==
-És un fet purament matemàtic que el [[polinomi característic]] del [[tensor d'Einstein]] de qualsevol espai-temps d'ona pp s'esvaeix de manera idèntica. De manera equivalent, podem trobar una [[Formalisme de Newman-Penrose|tètrade nul·la complexa de Newman-Penrose]] tal que els [[Formalisme de Newman-Penrose|escalars de Ricci-NP]] <math>\Phi_{ij}</math> (descrivint qualsevol matèria o camps no gravitacionals que puguin estar presents en un espai-temps) i els [[Formalisme de Newman-Penrose|escalars de Weyl-NP]] <math>\Psi_i</math> (que descriu qualsevol camp gravitatori que pugui estar present) cadascun només té un component que no es vagi. Concretament, pel que fa a la tètrada NP
-: <math> \vec{\ell} = \partial_u - H/2 \, \partial_v</math>
-: <math> \vec{n} = \partial_v</math>
-: <math> \vec{m} = \frac{1}{\sqrt2} \, \left( \partial_x + i \, \partial_y\right)</math>
-: l'únic component que no s'esvaeix de l'espinor de Ricci és
-:
-: <math> \Phi_{00} = \frac{1}{4} \, \left( H_{xx} + H_{yy} \right)</math>
-:
-l'únic component que no s'esvaeix de l'espinor de Ricci és
-<math> \Phi_{00} = \frac{1}{4} \, \left( H_{xx} + H_{yy} \right)</math>
-i l'únic component que no s'esvaeix de l'espinor de Weyl és
-<math> \Psi_0 = \frac{1}{4} \, \left( \left( H_{xx}-H_{yy} \right) + 2i \, H_{xy} \right).</math>
-Això significa que qualsevol espai-temps d'ona pp es pot interpretar, en el context de la relativitat general, com una [[solució de pols nul·la]]. A més, el [[tensor de Weyl]] sempre té el tipus '''N''' de [[Classificació Petrov|Petrov]], com es pot verificar mitjançant els [[Classificació Petrov|criteris de Bel]].
-En altres paraules, les ones pp modelen diversos tipus de [[radiació]] ''clàssica'' i ''sense massa'' que viatgen a la [[Velocitat de la llum|velocitat local de la llum]]. Aquesta radiació pot ser gravitatòria, electromagnètica, fermions de Weyl, o algun tipus hipotètic de radiació sense massa diferent d'aquestes tres, o qualsevol combinació d'aquestes. Tota aquesta radiació viatja en la mateixa direcció, i el vector nul <math>k = \partial_v</math> fa el paper d'un [[Vector d'ona|vector ondulatori]].