Usuari:VoltaQantic/proves: difer�ncia entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 07:55, 27 set 2024

La teoria de la relativitat especial té un paper important en la teoria moderna de l'electromagnetisme clàssic. Ofereix fórmules de com els objectes electromagnètics, en particular els camps elèctrics i magnètics, s'alteren sota una transformació de Lorentz d'un marc de referència inercial a un altre. Il·lumina la relació entre electricitat i magnetisme, mostrant que el marc de referència determina si una observació segueix lleis elèctriques o magnètiques. Motiva una notació compacta i convenient per a les lleis de l'electromagnetisme, és a dir, la forma de tensor "manifestament covariant".

Les equacions de Maxwell, quan es van enunciar per primera vegada en la seva forma completa el 1865, resultarien ser compatibles amb la relativitat especial. ^[1] A més, les aparents coincidències en les quals es va observar el mateix efecte a causa de fenòmens físics diferents per part de dos observadors diferents es demostraria que no són gens casuals per la relativitat especial. De fet, la meitat del primer article d'Einstein de 1905 sobre relativitat especial, "Sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment", explica com transformar les equacions de Maxwell.

Transformació dels camps entre marcs inercials

Els camps E i B

Aquesta equació considera dos marcs inercials. El marc cebat es mou en relació al marc no cebat a la velocitat v. Els camps definits en el marc inicial s'indiquen amb nombres primers, i els camps definits en el marc sense imprimació no tenen nombres primers. Les components del camp paral·leles a la velocitat v es denoten amb $\mathbf {E} _{\parallel }$ i $\mathbf {B} _{\parallel }$ mentre que les components del camp perpendiculars a v es denoten com $\mathbf {E} _{\perp }$ i $\mathbf {B} _{\perp }$ . En aquests dos fotogrames que es mouen a velocitat relativa v, els camps E i els camps B estan relacionats per: ^[2]

${\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}$

on

$\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

s'anomena factor de Lorentz i c és la velocitat de la llum a l'espai lliure. Les equacions anteriors estan en SI. En CGS aquestes equacions es poden derivar substituint ${\frac {1}{c^{2}}}$ amb ${\frac {1}{c}}$ , i $v\times B$ amb ${\frac {1}{c}}v\times B$ , excepte $\gamma$ . factor de Lorentz ( $\gamma$ ) és el mateix en ambdós sistemes. Les transformacions inverses són les mateixes excepte v → −v.

Una expressió alternativa equivalent és: ^[3]

${\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}$

on $\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}$ és el vector unitat de velocitat. Amb les anotacions anteriors, en realitat ho té $(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }$ i $(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }$ .

Component per component, per al moviment relatiu al llarg de l'eix x $\mathbf {v} =(v,0,0)$ , això resulta ser el següent:

${\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}$

Si un dels camps és zero en un marc de referència, això no vol dir necessàriament que sigui zero en tots els altres marcs de referència. Això es pot veure, per exemple, fent zero el camp elèctric no cebat en la transformació al camp elèctric cebat. En aquest cas, depenent de l'orientació del camp magnètic, el sistema cebat podria veure un camp elèctric, tot i que no n'hi ha cap al sistema sense imprimació.

Això no vol dir que es veuen dos conjunts d'esdeveniments completament diferents en els dos fotogrames, sinó que la mateixa seqüència d'esdeveniments es descriu de dues maneres diferents (vegeu el problema de l'imant i el conductor en moviment a continuació).

Si una partícula de càrrega q es mou amb la velocitat u respecte al sistema S, aleshores la força de Lorentz al sistema S és:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}$

En el marc S', la força de Lorentz és:

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

Aquí es dóna una derivació per a la transformació de la força de Lorentz per al cas particular u = 0. ^[4] Un de més general es pot veure aquí. ^[5]

Les transformacions d'aquesta forma es poden fer més compactes introduint el tensor electromagnètic (definit a continuació), que és un tensor covariant.

Els camps D i H

Per al desplaçament elèctric D i la intensitat magnètica H, utilitzant les relacions constitutives i el resultat per a c ² :

\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,

dóna

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

De manera anàloga per a E i B, la D i la H formen el tensor de desplaçament electromagnètic.

Referències

↑ Haskell. «Questions remain about the treatment of accelerating charges – Special relativity and Maxwell's equations». Arxivat de l'original el 2008-01-01.
↑ Tai L. Chow. «10.21». A: Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett, 2006, p. 402–403 ff. ISBN 0-7637-3827-1.
↑ Daniel, Herbert (1997), "4.5.1", Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik, Walter de Gruyter, pàg. 360–361, ISBN 3-11-015777-2, <https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC>, Extract of pages 360-361
↑ «Force Laws and Maxwell's Equations». MathPages.
↑ «Archived copy». Arxivat de l'original el 2009-02-26. [Consulta: 6 novembre 2008].

[1] Haskell. «Questions remain about the treatment of accelerating charges – Special relativity and Maxwell's equations». Arxivat de l'original el 2008-01-01.

[Chow3-2] Tai L. Chow. «10.21». A: Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett, 2006, p. 402–403 ff. ISBN 0-7637-3827-1.

[3] Daniel, Herbert (1997), "4.5.1", Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik, Walter de Gruyter, pàg. 360–361, ISBN 3-11-015777-2, <https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC>, Extract of pages 360-361

[4] «Force Laws and Maxwell's Equations». MathPages.

[5] «Archived copy». Arxivat de l'original el 2009-02-26. [Consulta: 6 novembre 2008].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
+La teoria de [[Relativitat especial|la relativitat especial]] té un paper important en la teoria moderna de [[Electrodinàmica clàssica|l'electromagnetisme clàssic]]. Ofereix fórmules de com els objectes electromagnètics, en particular els [[Camp magnètic|camps]] [[Camp elèctric|elèctrics]] i magnètics, s'alteren sota una [[transformació de Lorentz]] d'un [[Sistema de referència inercial|marc de referència inercial]] a un altre. Il·lumina la relació entre electricitat i magnetisme, mostrant que el marc de referència determina si una observació segueix lleis elèctriques o magnètiques. Motiva una notació compacta i convenient per a les lleis de l'electromagnetisme, és a dir, la forma de tensor "manifestament covariant".
+[[Fitxer:Lorentz_boost_electric_charge.svg|miniatura|375x375px|Augment de Lorentz d'una càrrega elèctrica.'''A dalt:''' la càrrega està en repòs al fotograma F, de manera que aquest observador veu un camp elèctric estàtic. Un observador en un altre marc F &#x2032; es mou amb velocitat '''v''' respecte a F, i veu la càrrega moure's amb velocitat '''−v''' amb un camp elèctric '''E''' alterat a causa de la contracció de la longitud i un camp magnètic '''B''' a causa del moviment de la càrrega.'''A baix:''' configuració similar, amb la càrrega en repòs al fotograma F &#x2032;.]]
+Les equacions de Maxwell, quan es van enunciar per primera vegada en la seva forma completa el 1865, resultarien ser compatibles amb la relativitat especial. <ref>{{Ref-web|títol=Questions remain about the treatment of accelerating charges – Special relativity and Maxwell's equations|cognom=Haskell|url=/proxy/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm|arxiuurl=/proxy/https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm|arxiudata=2008-01-01}}</ref> A més, les aparents coincidències en les quals es va observar el mateix efecte a causa de fenòmens físics diferents per part de dos observadors diferents es demostraria que no són gens casuals per la relativitat especial. De fet, la meitat del primer article d'Einstein de 1905 sobre relativitat especial, "[[Annus Mirabilis papers|Sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment]]", explica com transformar les equacions de Maxwell.
+== Transformació dels camps entre marcs inercials ==
-[[Fitxer:Focused_Laguerre-Gaussian_beam.webm|miniatura|500x500px|Un feix de vòrtex enfocat que presenta un moment angular orbital a través dels fronts d'ona helicoïdals]]
-El '''moment angular orbital de la llum''' ('''OAM''') és la component del [[Moment angular de la llum|moment angular d'un feix de llum]] que depèn de la distribució espacial del camp, i no de la [[Polarització electromagnètica|polarització]]. L'OAM es pot dividir en dos tipus. L'<nowiki/>''OAM intern'' és un moment angular independent de l'origen d'un feix de llum que es pot associar amb un [[front d'ona]] [[Hèlix (geometria)|helicoïdal]] o retorçat. L'''OAM extern'' és el moment angular depenent de l'origen que es pot obtenir com a [[Producte vectorial|producte creuat]] de la posició del feix de llum (centre del feix) i el seu [[Quantitat de moviment|moment lineal]] total.
-[[Fitxer:Helix_oam.png|dreta|miniatura|596x596px|Les diferents columnes mostren les estructures helicoïdals del feix, els fronts de fase i les distribucions d'intensitat corresponents.]]
-== Concepte ==
+=== Els camps E i B ===
+Aquesta equació considera dos [[Sistema de referència inercial|marcs inercials]]. El marc ''cebat'' es mou en relació al marc no cebat a la velocitat '''v'''. Els camps definits en el marc inicial s'indiquen amb nombres primers, i els camps definits en el marc sense imprimació no tenen nombres primers. Les components del camp ''paral·leles'' a la velocitat '''v''' es denoten amb <math>\mathbf{E}_\parallel</math> i <math>\mathbf{B}_\parallel</math> mentre que les components del camp perpendiculars a '''v''' es denoten com <math>\mathbf{E}_\perp</math> i <math>\mathbf{B}_\perp</math>. En aquests dos fotogrames que es mouen a velocitat relativa '''v''', els camps '''E''' i els camps '''B''' estan relacionats per: <ref name="Chow3">{{Ref-llibre|cognom=Tai L. Chow|títol=Electromagnetic theory|any=2006|capítol=10.21|pàgines=402–403 ff|editorial=Jones and Bartlett|lloc=Sudbury MA|isbn=0-7637-3827-1|url=/proxy/https://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153}}</ref>
-Un feix de llum porta un [[Quantitat de moviment|moment lineal]] <math>\mathbf{P}</math>, i per tant també se li pot atribuir un moment angular extern <math>\mathbf{L}_e=\mathbf{r}\times\mathbf{P}</math>. Aquest moment angular extern depèn de l'elecció de l'origen del sistema de [[Sistema de coordenades|coordenades]]. Si s'escull l'origen a l'eix del feix i el feix és cilíndricament simètric (almenys en la seva distribució del moment), el moment angular extern s'esvairà. El moment angular extern és una forma d'OAM, perquè no està relacionat amb [[Polarització electromagnètica|la polarització]] i depèn de la distribució espacial del [[Camp electromagnètic|camp òptic]] (E).
+<math>\begin{align}
-Un exemple més interessant d'OAM és l'OAM intern que apareix quan un feix de llum [[Aproximació paraxial|paraxial]] es troba en l'anomenat "''mode helicoïdal''". Els modes helicoïdals del [[camp electromagnètic]] es caracteritzen per un [[front d'ona]] que té forma d'[[Hèlix (geometria)|hèlix]], amb un [[vòrtex òptic]] al centre, a l'eix del feix (vegeu la figura). Si la fase varia al voltant de l'eix d'aquesta ona, porta moment angular orbital. <ref>{{Cite magazine}}</ref>
+ \mathbf{E_\parallel}' &= \mathbf{E_\parallel} \\
+ \mathbf{B_\parallel}' &= \mathbf{B_\parallel} \\
+    \mathbf{E_\bot}' &= \gamma \left( \mathbf{E}_\bot + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \\
+    \mathbf{B_\bot}' &= \gamma \left( \mathbf{B}_\bot - \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E} \right)
+\end{align}</math>
+on
-A la figura de la dreta, la primera columna mostra la forma del front d'ona del feix. La segona columna és la distribució de [[Espai de fase òptic|fase òptica]] en una secció transversal del feix, mostrada en colors falsos. La tercera columna és la distribució [[Intensitat lluminosa|de la intensitat]] de la llum en una secció transversal del feix (amb un nucli de vòrtex fosc al centre).
+<math>\gamma \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
-Els modes helicoïdals es caracteritzen per un nombre enter <math>m</math>, positiu o negatiu. Si <math>m=0</math>, el mode no és helicoïdal i els fronts d'ona són múltiples superfícies desconnectades, per exemple, una seqüència de plans paral·lels (del qual el nom "ona plana"). Si <math>m=\pm 1</math>, la màsura determinada pel signe de <math>m</math>, el [[front d'ona]] té la forma d'una sola superfície helicoïdal, amb una longitud de pas igual a la [[longitud d'ona]] <math>\lambda</math>. Si <math>|m|\geqslant 2</math>, el front d'ona es compon de <math>|m|</math> hèlixs diferents però entrellaçades, amb la longitud del pas de cada superfície de l'hèlix igual a <math>|m|\lambda</math>, i una màsura donada pel signe de <math>m</math>. El nombre sencer <math>m</math> també és l'anomenada "''càrrega topològica''" del [[vòrtex òptic]]. Els feixos de llum que estan en mode helicoïdal porten OAM diferent de zero. Com a exemple, qualsevol [[Feix gaussià|mode de Laguerre-Gauss]] amb nombre de mode rotatiu <math>l \ne 0</math> té un [[front d'ona]] tan helicoïdal. <ref>{{Ref-llibre|cognom=Siegman|nom=Anthony E.|títol=Lasers|url=/proxy/https://archive.org/details/lasers0000sieg|any=1986|editorial=University Science Books|isbn=978-0-935702-11-8|pàgines=[https://archive.org/details/lasers0000sieg/page/1283 1283]}}</ref>
+s'anomena [[factor de Lorentz]] i ''c'' és la [[velocitat de la llum]] a [[Buit|l'espai lliure]]. Les equacions anteriors estan en [[Sistema Internacional d'Unitats|SI]]. En [[Sistema CGS|CGS]] aquestes equacions es poden derivar substituint <math>\frac{1}{c^2}</math> amb <math>\frac{1}{c}</math>, i <math> v \times B </math> amb <math> \frac{1}{c} v \times B </math>, excepte <math>\gamma</math>. factor de Lorentz ( <math>\gamma</math> ) és el mateix en ambdós [[Sistema d'unitats|sistemes]]. Les transformacions inverses són les mateixes excepte {{Nowrap|'''v''' → −'''v'''}}.
-== Formulació ==
-L'expressió clàssica del moment angular orbital és la següent: <ref>{{Ref-publicació|cognom=Belinfante|nom=F. J.|publicació=Physica|any=1940|volum=7|pàgines=449–474|doi=10.1016/S0031-8914(40)90091-X|exemplar=5|bibcode=1940Phy.....7..449B}}</ref> <math display="block">\mathbf{L} = \epsilon_0 \sum_{i=x,y,z} \int \left(E^i\left(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}\right) A^i\right)d^3\mathbf{r} ,</math> on <math>\mathbf{E}</math> i <math>\mathbf{A}</math> són el [[camp elèctric]] i el [[potencial vectorial]], respectivament, <math>\epsilon_0</math> és la [[permitivitat del buit]] i estem utilitzant unitats SI. El <math>i</math> -els símbols superíndexs denoten les components cartesianes dels vectors corresponents.
+Una expressió alternativa equivalent és: <ref>{{Citation|title=Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik|first1=Herbert|last1=Daniel|publisher=Walter de Gruyter|year=1997|isbn=3-11-015777-2|chapter=4.5.1|pages=360–361|url=/proxy/https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC}}, [https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&pg=PA360 Extract of pages 360-361]</ref>
-Per a una ona monocromàtica aquesta expressió es pot transformar en la següent: <ref>{{Ref-publicació|cognom=Humblet|nom=J.|publicació=Physica|any=1943|volum=10|pàgines=585–603|doi=10.1016/S0031-8914(43)90626-3|exemplar=7|bibcode=1943Phy....10..585H}}</ref> <ref name="SHA_WEI">{{Citation|journal=IEEE Journal on Multiscale and Multiphysics Computational Techniques|last1=Sha|first1=Wei E. I.|last2=Lan|first2=Zhihao|last3=Chen|first3=Menglin L. N.|title=Spin and Orbital Angular Momenta of Electromagnetic Waves: From Classical to Quantum Forms|year=2024|doi=10.1109/JMMCT.2024.3370729}}</ref> <math display="block">\mathbf{L}=\frac{\epsilon_0}{2i\omega}\sum_{i=x,y,z} \int \left({E^i}^{\ast}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{\nabla}\right) E^i\right) d^3\mathbf{r} .</math>Aquesta expressió generalment no s'esvaeix quan l'ona no és cilíndricament simètrica. En particular, en una teoria quàntica, els fotons individuals poden tenir els següents valors de l'OAM: <ref name="SHA_WEI2">{{Citation|journal=IEEE Journal on Multiscale and Multiphysics Computational Techniques|last1=Sha|first1=Wei E. I.|last2=Lan|first2=Zhihao|last3=Chen|first3=Menglin L. N.|title=Spin and Orbital Angular Momenta of Electromagnetic Waves: From Classical to Quantum Forms|year=2024|doi=10.1109/JMMCT.2024.3370729}}</ref> <math display="block">\mathbf{L}_z = m\hbar .</math> on la càrrega topològica m es pot extreure numèricament del perfil de camp elèctric dels feixos de vòrtex. <ref>{{Citation|title=OAM-Propagation|url=/proxy/https://github.com/Sha-Group/OAM-Propagation}}</ref>
+<math>\begin{align}
-Les corresponents funcions d'ona (funcions pròpies de l'operador OAM) tenen la següent expressió general: <math display="block">\langle \mathbf{r}|m\rangle\propto e^{i m \phi} .</math> on <math>\phi</math> és la coordenada cilíndrica. Com s'ha esmentat a la Introducció, aquesta expressió correspon a ones que tenen un front d'ona helicoïdal (vegeu la figura anterior), amb un vòrtex òptic al centre, a l'eix del feix.
+ \mathbf{E}' &= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left ({\gamma-1} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}}\\
-[[Fitxer:Generation_of_OAM_beams_using_SLM.gif|miniatura|400x400px|Es pot generar un feix de llum amb un moment angular orbital determinat (OAM) deixant que un feix gaussià estàndard incideixi en una pantalla d'un modulador de llum espacial (SLM). Si el perfil de fase a SLM és pla, l'SLM funciona de manera eficaç com a mirall. Si la fase té un perfil helicoïdal, el feix resultant és un feix de Laguerre-Gauss (LG) amb un OAM ben definit. En aplicacions reals, hi ha una barreja no negligible en el feix reflectit en forma de feix gaussià. Es pot desfer-se'n superposant la fase helicoïdal a l'SLM amb una xarxa de difracció.]]
+ \mathbf{B}' &= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left({\gamma - 1} \right) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{v}}) \mathbf{\hat{v}}
+\end{align}</math>
+on <math>\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{v} \Vert} </math> és el [[Vector unitari|vector unitat de]] velocitat. Amb les anotacions anteriors, en realitat ho té <math>( \mathbf{E} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}} = \mathbf{E}_\parallel</math> i <math>( \mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}} = \mathbf{B}_\parallel</math>.
-== Generació ==
-Estats de moment angular orbital amb <math>l = \pm 1</math> ocorren de manera natural. Els estats OAM d'<math>l</math> arbitrària es poden crear artificialment amb una varietat d'eines, com ara l'ús de [[Spiral phase plate|plaques de fase espiral]], [[Modulador de llum espacial|moduladors de llum espacial]] i [[Placa Q|plaques q]].
+Component per component, per al moviment relatiu al llarg de l'eix x <math>\mathbf{v}=(v,0,0)</math>, això resulta ser el següent:
-Les plaques d'ona espiral, fetes de plàstic o vidre, són plaques on el gruix del material augmenta en un patró en espiral per tal d'imprimir un gradient de fase a la llum que el travessa. Per a una longitud d'ona donada, un estat OAM d'un determinat <math>l</math> requereix que l'alçada del pas —l'alçada entre les parts més primes i gruixudes de la placa— estigui donada per <math>s = l\lambda/(n-1)</math> on <math>n</math> és l'índex de refracció de la placa. Tot i que les plaques d'ona són eficients, són relativament cares de produir i, en general, no es poden ajustar a diferents longituds d'ona de llum. <ref name=":0">{{Ref-publicació|cognom=Beijersbergen|nom=M.W.|cognom2=Coerwinkel|nom2=R.P.C.|cognom3=Kristensen|nom3=M.|cognom4=Woerdman|nom4=J.P.|enllaçautor4=Han Woerdman|publicació=Optics Communications|data=December 1994|volum=112|exemplar=5–6|pàgines=321–327|doi=10.1016/0030-4018(94)90638-6|bibcode=1994OptCo.112..321B}}</ref>
+<math>\begin{align}
-Una altra manera de modificar la fase de la llum és amb una xarxa de difracció. Per un <math>l=0</math> estat, la xarxa de difracció consistiria en línies paral·leles. Tanmateix, per un <math>l=1</math> estat, hi haurà una dislocació de "bifurcació" i el nombre de línies per sobre de la dislocació serà una més gran que per sota. Un estat OAM amb <math>l>1</math> es pot crear augmentant la diferència en el nombre de línies per sobre i per sota de la dislocació. <ref>{{Ref-publicació|cognom=Bazhenov|nom=V.Yu.|cognom2=Soskin|nom2=M.S.|cognom3=Vasnetsov|nom3=M.V.|publicació=Journal of Modern Optics|data=May 1992|volum=39|exemplar=5|pàgines=985–990|doi=10.1080/09500349214551011|bibcode=1992JMOp...39..985B}}</ref> Igual que amb les plaques d'ona espiral, aquestes reixes de difracció es fixen <math>l</math>, però no estan restringits a una longitud d'ona determinada.
+ E'_x &= E_x                & \qquad B'_x &= B_x \\
+ E'_y &= \gamma \left( E_y - v B_z \right) &    B'_y &= \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\
+ E'_z &= \gamma \left( E_z + v B_y \right) &    B'_z &= \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right). \\
+\end{align}</math>
+Si un dels camps és zero en un marc de referència, això no vol dir necessàriament que sigui zero en tots els altres marcs de referència. Això es pot veure, per exemple, fent zero el camp elèctric no cebat en la transformació al camp elèctric cebat. En aquest cas, depenent de l'orientació del camp magnètic, el sistema cebat podria veure un camp elèctric, tot i que no n'hi ha cap al sistema sense imprimació.
-Una altra manera de modificar la fase de la llum és amb una xarxa de difracció. Per un <math>l=0</math> estat, la xarxa de difracció consistiria en línies paral·leles. Tanmateix, per un <math>l=1</math> estat, hi haurà una dislocació de "bifurcació" i el nombre de línies per sobre de la dislocació serà una més gran que per sota. Un estat OAM amb <math>l>1</math> es pot crear augmentant la diferència en el nombre de línies per sobre i per sota de la dislocació. <ref>{{Ref-publicació|cognom=Bazhenov|nom=V.Yu.|cognom2=Soskin|nom2=M.S.|cognom3=Vasnetsov|nom3=M.V.|publicació=Journal of Modern Optics|data=May 1992|volum=39|exemplar=5|pàgines=985–990|doi=10.1080/09500349214551011|bibcode=1992JMOp...39..985B}}</ref> Igual que amb les plaques d'ona espiral, aquestes reixes de difracció es fixen <math>l</math>, però no estan restringits a una longitud d'ona determinada.
+Això no vol dir que es veuen dos conjunts d'esdeveniments completament diferents en els dos fotogrames, sinó que la mateixa seqüència d'esdeveniments es descriu de dues maneres diferents (vegeu [[Classical electromagnetism and special relativity#Moving magnet and conductor problem|el problema de l'imant i el conductor en moviment]] a continuació).
-== Aplicacions ==
+Si una partícula de càrrega ''q'' es mou amb la velocitat '''u''' respecte al sistema S, aleshores la força de Lorentz al sistema S és:
-=== Ús potencial en telecomunicacions ===
-La investigació sobre OAM ha suggerit que les ones de llum podrien transportar quantitats de dades sense precedents fins ara a través de [[Fibra òptica|fibres òptiques]]. Segons les proves preliminars, els fluxos de dades que viatgen al llarg d'un feix de llum dividit en 8 polaritats circulars diferents han demostrat la capacitat de transferir fins a 2,5 terabits de dades (equivalent a 66 [[DVD]] o 320 [[Gigabyte|gigabytes]]) per segon. <ref>{{Ref-notícia|url=/proxy/https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-18551284|diari=BBC|data=25 June 2012|access-date=25 June 2012}}</ref> Més investigacions sobre la multiplexació OAM a les freqüències de longitud d'ona de ràdio i mm s'han demostrat en proves preliminars que poden transmetre 32 gigabits de dades per segon per l'aire. El límit de comunicació fonamental de [[Multiplexació de moment angular orbital|la multiplexació de moment orbital-angular]] és cada cop més urgent per a la investigació actual de múltiples entrades i múltiples sortides ([[MIMO]]). El límit s'ha aclarit en termes de canals de dispersió independents o els graus de llibertat (DoF) dels camps dispersos mitjançant l'anàlisi angular-espectral, juntament amb un mètode rigorós de la funció Green. <ref>{{Ref-publicació|cognom=Yuan|nom=Shuai S. A.|cognom2=Wu|nom2=Jie|cognom3=Chen|nom3=Menglin L. N.|cognom4=Lan|nom4=Zhihao|cognom5=Zhang|nom5=Liang|publicació=Physical Review Applied|data=16 December 2021|volum=16|exemplar=6|doi=10.1103/PhysRevApplied.16.064042|pàgines=064042|arxiv=2106.15120|bibcode=2021PhRvP..16f4042Y}}</ref> El límit DoF és universal per a la multiplexació en mode espacial arbitrari, que es llança mitjançant un dispositiu electromagnètic pla, com ara antenes, metasuperfície, etc., amb una obertura física predefinida.
+<math>\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{u} \times \mathbf{B}</math>
-=== Aplicacions d'informació quàntica ===
-Els estats OAM es poden generar en [[Superposició quàntica|superposicions]] [[Coherència (física)|coherents]] i es poden [[Entrellaçament quàntic|enredar]], <ref>{{Ref-publicació|cognom=Joseph|nom=S.K.|cognom2=Chew|nom2=L. Y.|nom3=Sanjuan|cognom3=M.A. F.|publicació=Optics Express|data=10 Nov 2015|volum=23|exemplar=25|pàgines=32191–32201|doi=10.1364/OE.23.032191|pmid=26699009|bibcode=2015OExpr..2332191J|url=/proxy/https://www.osapublishing.org/oe/fulltext.cfm?uri=oe-23-25-32191&id=333200|dataaccés=free}}</ref> <ref>{{Ref-publicació|cognom=Pecoraro|nom=A.|cognom2=Cardano|nom2=F.|cognom3=Marrucci|nom3=L.|cognom4=Porzio|nom4=A.|data=2019-07-15|url=/proxy/https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.100.012321|publicació=Physical Review A|llengua=en|volum=100|exemplar=1|pàgines=012321|doi=10.1103/PhysRevA.100.012321|arxiv=1805.05105|bibcode=2019PhRvA.100a2321P|issn=2469-9926}}</ref> que és un element integral dels esquemes per als protocols [[Informació quàntica|d'informació quàntica]]. Els parells de fotons generats pel procés de [[Conversió descendent paramètrica espontània|conversió paramètrica a la baixa]] s'entrellacen de manera natural en OAM, <ref>{{Ref-publicació|cognom=Mair|nom=A.|cognom2=Vaziri|nom2=A.|cognom3=Weihs|nom3=G.|cognom4=Zeilinger|nom4=A.|publicació=Nature|data=2001|volum=412|exemplar=6844|pàgines=313–316|doi=10.1038/35085529|pmid=11460157|arxiv=quant-ph/0104070|bibcode=2001Natur.412..313M}}</ref> <ref>{{Ref-publicació|cognom=Walborn|nom=S.P.|cognom2=Oliveira|nom2=A.N.|cognom3=Thebaldi|nom3=R.S.|cognom4=Monken|nom4=C.H.|publicació=Physical Review A|data=2004|volum=69|exemplar=2|pàgines=023811|doi=10.1103/PhysRevA.69.023811|arxiv=quant-ph/0503029|bibcode=2004PhRvA..69b3811W}}</ref> i les correlacions es mesuren mitjançant moduladors de llum espacial (SLM). <ref>{{Ref-publicació|cognom=Jack|nom=B.|cognom2=Yao|nom2=A. M.|cognom3=Leach|nom3=J.|cognom4=Romero|nom4=J.|cognom5=Franke-Arnold|nom5=S.|publicació=Physical Review A|data=30 April 2010|volum=81|exemplar=4|pàgines=043844|doi=10.1103/PhysRevA.81.043844|bibcode=2010PhRvA..81d3844J|url=/proxy/https://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:409754/UQ409754_OA.pdf}}</ref>
+En el marc S', la força de Lorentz és:
-S'ha demostrat que l'ús de qudits (amb nivells ''d'', a diferència dels 2 nivells d'un [[Qbit|qubit]] ) millora la robustesa dels esquemes de [[Distribució de claus quàntica|distribució de claus quàntiques]]. Els estats OAM proporcionen una realització física adequada d'aquest sistema i un experiment de prova de principi (amb 7 modes OAM de <math>l = -3</math> a <math>l = 3</math> ) s'ha demostrat. <ref>{{Ref-publicació|cognom=Mirhosseini|nom=Mohammad|cognom2=Magaña-Loaiza|nom2=Omar S.|cognom3=O'Sullivan|nom3=Malcolm N.|cognom4=Rodenburg|nom4=Brandon|cognom5=Malik|nom5=Mehul|publicació=New Journal of Physics|data=20 March 2015|volum=17|exemplar=3|pàgines=033033|doi=10.1088/1367-2630/17/3/033033|arxiv=1402.7113|bibcode=2015NJPh...17c3033M}}</ref>
+: <math>\mathbf{F'} = q\mathbf{E'} + q \mathbf{u'} \times \mathbf{B'}</math>
+: Aquí es dóna una derivació per a la transformació de la força de Lorentz per al cas particular '''u''' = '''0'''. <ref>{{Ref-web|títol=Force Laws and Maxwell's Equations|url=/proxy/http://www.mathpages.com/rr/s2-02/2-02.htm|obra=MathPages}}</ref> Un de més general es pot veure aquí. <ref>{{Ref-web|url=/proxy/http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/ganley_ajp_31_510_62.pdf|títol=Archived copy|consulta=2008-11-06|arxiuurl=/proxy/https://web.archive.org/web/20090226225531/http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/ganley_ajp_31_510_62.pdf|arxiudata=2009-02-26}}</ref>
+:
+: Les transformacions d'aquesta forma es poden fer més compactes introduint el [[tensor electromagnètic]] (definit a continuació), que és un [[Covariància i contravariància de vectors|tensor covariant]].
+:
+=== Els camps D i H ===
+: Per al [[desplaçament elèctric]] '''D''' i [[Camp magnètic|la intensitat magnètica]] '''H''', utilitzant les [[Equació constitutiva|relacions constitutives]] i el resultat per a ''c'' <sup>2</sup> :
+: <math>\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E}\,, \quad \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{H}\,,\quad c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\,, </math>
+: dóna
+: <math>\begin{align}
+ \mathbf{D}' & =\gamma \left( \mathbf{D}+\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{D}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\
+ \mathbf{H}' & =\gamma \left( \mathbf{H}-\mathbf{v}\times \mathbf{D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{H}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}}
+\end{align}</math>
+: De manera anàloga per '''a E''' i '''B''', la '''D''' i '''la H''' formen el [[Formulació covariant de l'electrodinàmica clàssica|tensor de desplaçament electromagnètic]].
+:
+:
+::