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Matemática aplicada

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Una simulación por computador de un flujo de aire de alta velocidad alrededor de un transbordador espacial durante la reentrada. Este tipo de simulaciones requieren de complejos y poderosos métodos de matemática aplicada e ingeniería mecánica.

La matemática aplicada —también matemáticas aplicadas o matemática y aplicaciones— se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticos que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas,[1]​ como el cálculo, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales y otros procedimientos ideados desde que se acuñó el concepto.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, ingeniería, medicina, ciencias sociales, informática, economía y las actividades económico-financieras o ecología. Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea, hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el caso de la matemática pura o de la matemática elemental.[2]​

La matemática aplicada se usa con frecuencia en distintas �reas tecnol�gicas para modelado, simulaci�n y optimizaci�n de procesos o fen�menos, como el t�nel de viento o el dise�o de experimentos. En las �ltimas d�cadas, una de las aplicaciones m�s directas de la matem�tica tales como: �lgebra lineal, geometr�a plana y del espacio, c�lculo y f�sica han sido un fundamento para el desarrollo de simuladores y videojuegos en 3D.

Historia

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Una soluci�n num�rica de la ecuaci�n del calor en un modelo de carcasa de bomba utilizando el m�todo de elementos finitos.

Hist�ricamente, la matem�tica aplicada consist�a principalmente en an�lisis aplicado, sobre todo ecuaciones diferenciales; teor�a de la aproximaci�n (en sentido amplio, para incluir representaci�n, m�todos asint�ticos, m�todos variacionales, y an�lisis num�rico); y probabilidad aplicada. Estas �reas de las matem�ticas se relacionaron directamente con el desarrollo de la f�sica newtoniana, y de hecho, la distinci�n entre matem�ticos y f�sicos no fue muy marcada antes de mediados del siglo XIX. Esta historia dej� un legado pedag�gico en Estados Unidos: hasta principios del siglo XX, asignaturas como la mec�nica cl�sica sol�an impartirse en los departamentos de matem�ticas aplicadas de las universidades estadounidenses en lugar de en los de f�sica, y la mec�nica de fluidos puede seguir imparti�ndose en los departamentos de matem�tica aplicada.[3]​ Los departamentos de ingenier�a y ciencias de la computaci�n han utilizado tradicionalmente la matem�tica aplicada.

Divisiones

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La mec�nica de fluidos suele considerarse una rama de la matem�tica aplicadas y de la ingenier�a mec�nica

En la actualidad, la locuci�n �matem�tica aplicada� se utiliza en un sentido m�s amplio. Incluye las �reas cl�sicas se�aladas anteriormente, as� como otras �reas que han adquirido una importancia creciente en las aplicaciones. Incluso campos como la teor�a de n�meros que forman parte de la matem�tica pura son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptograf�a), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matem�tica aplicada per se.

No hay consenso sobre cu�les son las distintas ramas de la matem�tica aplicada. Estas categorizaciones se ven dificultadas por la forma en que las matem�ticas y la ciencia cambian con el tiempo, y tambi�n por la forma en que las universidades organizan los departamentos, los cursos y las titulaciones.

Muchos matem�ticos distinguen entre la "matem�tica aplicada", que se ocupan de los m�todos matem�ticos, y las "aplicaciones de la matem�tica" dentro de la ciencia y la ingenier�a. Un bi�logo que utilizara un modelo de poblaci�n y aplicara las matem�ticas conocidas no estar�a haciendo matem�ticas aplicadas, sino utiliz�ndolas; sin embargo, los bi�logos matem�ticos han planteado problemas que han estimulado el crecimiento de las matem�ticas puras. Matem�ticos como Poincar� y Arnold niegan la existencia de las "matem�ticas aplicadas" y afirman que s�lo hay "aplicaciones de las matem�ticas". Del mismo modo, los no matem�ticos mezclan las matem�ticas aplicadas y las aplicaciones de las matem�ticas. El uso y desarrollo de las matem�ticas para resolver problemas industriales tambi�n se denomina "matem�ticas industriales".[4]​

El �xito de los modernos m�todos matem�ticos num�ricos y del software ha llevado a la aparici�n de la matem�tica computacional, la ciencia computacional y la ingenier�a computacional, que utilizan computaci�n de alto rendimiento para la simulaci�n de fen�menos y la soluci�n de problemas en las ciencias y la ingenier�a. A menudo se consideran interdisciplinarias.

Matem�ticas aplicables

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En ocasiones, la locuci�n 'matem�ticas aplicables' se utiliza para distinguir entre las matem�ticas aplicadas tradicionales que se desarrollaron junto con la f�sica y las muchas �reas de las matem�ticas que son aplicables a los problemas del mundo real hoy en d�a, aunque no hay consenso en cuanto a una definici�n precisa.[5]​

Los matem�ticos suelen distinguir entre las "matem�ticas aplicadas", por un lado, y las "aplicaciones de las matem�ticas" o "matem�ticas aplicables", tanto dentro como fuera de la ciencia y la ingenier�a, por otro.[5]​ Algunos matem�ticos enfatizan la locuci�n de �matem�ticas aplicables� para separar o delimitar las �reas aplicadas tradicionales de las nuevas aplicaciones que surgen de campos que antes se consideraban matem�ticas puras.[6]​ Por ejemplo, desde este punto de vista, un ec�logo o ge�grafo que utilice modelos de poblaci�n y aplique matem�ticas conocidas no estar�a haciendo matem�ticas aplicadas, sino aplicables. Incluso campos como la teor�a de los n�meros que forman parte de las matem�ticas puras son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptograf�a), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matem�ticas aplicadas per se. Tales descripciones pueden llevar a considerar las matem�ticas aplicables como una colecci�n de m�todos matem�ticos como el an�lisis real, el �lgebra lineal, la modelizaci�n matem�tica, la optimizaci�n, la combinatoria, la probabilidad y la estad�stica, que son �tiles en �reas ajenas a las matem�ticas tradicionales y no espec�ficas de la f�sica matem�tica.

Otros autores prefieren describir las matem�ticas aplicables como una uni�n de "nuevas" aplicaciones matem�ticas con los campos tradicionales de las matem�ticas aplicadas.[6]​[7]​[8]​ Con esta perspectiva, las locuciones �matem�tica aplicada� y �matem�tica aplicable� son, pues, intercambiables.

Utilidad

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En el �mbito de las finanzas se aplican las matem�ticas para modelar y analizar el comportamiento de los mercados financieros

Hist�ricamente, las matem�ticas han sido muy importantes en las ciencias naturales y la ingenier�a. Sin embargo, desde la Segunda Guerra Mundial, campos ajenos a las ciencias f�sicas han propiciado la creaci�n de nuevas �reas de las matem�ticas, como la teor�a de los juegos y la teor�a de la elecci�n social, que surgieron de consideraciones econ�micas. Adem�s, la utilizaci�n y el desarrollo de los m�todos matem�ticos se extendi� a otras �reas, dando lugar a la creaci�n de nuevos campos como las finanzas matem�ticas y la ciencia de los datos.

La llegada del ordenador ha permitido nuevas aplicaciones: estudiar y utilizar la nueva tecnolog�a inform�tica en s� misma (ciencia de la computaci�n) para abordar problemas que surgen en otras �reas de la ciencia (la ciencia computacional), as� como las matem�ticas de la computaci�n (por ejemplo, la ciencia de la computaci�n te�rica, el �lgebra computacional,[9]​[10]​[11]​[12]​ o el an�lisis num�rico[13]​[14]​[15]​[16]​). La estad�stica es probablemente la disciplina matem�tica m�s extendida que se utiliza en las ciencias sociales, pero otras �reas de las matem�ticas, sobre todo la econom�a, est�n resultando cada vez m�s �tiles en estas disciplinas.

Matem�ticas b�sicas frente a matem�ticas aplicadas

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Los matem�ticos siempre han tenido opiniones divergentes sobre la distinci�n entre matem�ticas puras y aplicadas. Uno de los ejemplos modernos m�s famosos (aunque quiz�s malinterpretado) de este debate se encuentra en la obra de G.H. Hardy Apolog�a del Matem�tico.

La opini�n generalizada es que Hardy consideraba que las matem�ticas aplicadas eran feas y aburridas. Aunque es cierto que Hardy prefer�a las matem�ticas b�sicas, que a menudo comparaba con la pintura y la poes�a, consideraba que la distinci�n entre las matem�ticas b�sicas y las aplicadas consist�a simplemente en que las matem�ticas aplicadas trataban de expresar la verdad f�sica en un marco matem�tico, mientras que las matem�ticas b�sicas expresaban verdades que eran independientes del mundo f�sico. Hardy hizo una distinci�n entre lo que llam� matem�ticas "reales", "que tienen un valor est�tico permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matem�ticas" que tienen un uso pr�ctico.

Hardy consideraba que algunos f�sicos, como Einstein y Dirac, se encontraban entre los matem�ticos "reales", pero en el momento en que escrib�a la Apolog�a consideraba que la relatividad general y la mec�nica cu�ntica eran "in�tiles", lo que le permit�a mantener la opini�n de que s�lo las matem�ticas "aburridas" eran �tiles. Adem�s, admiti� brevemente que -al igual que la aplicaci�n de la teor�a de matrices y la teor�a de grupos a la f�sica hab�a llegado de forma inesperada- podr�a llegar un momento en el que algunos tipos de matem�ticas bellas y "reales" tambi�n fueran �tiles.

Otro punto de vista perspicaz es el ofrecido por Magid:

Siempre he pensado que un buen modelo aqu� podr�a extraerse de la teor�a de anillos. En ese tema, uno tiene las sub�reas de teor�a de anillos conmutativos y teor�a de anillos no conmutativos. Un observador desinformado podr�a pensar que representan una dicotom�a, pero en realidad la segunda subsume a la primera: un anillo no conmutativo es un anillo no necesariamente conmutativo. Si utilizamos convenciones similares, entonces podr�amos referirnos a las matem�ticas aplicadas y a las matem�ticas no aplicadas, donde por estas �ltimas nos referimos a las matem�ticas no necesariamente aplicadas... [�nfasis a�adido][17]​

Friedrich Engels argumentó en Anti-Dühring que:

"no es en absoluto cierto que en las matemáticas básicas o puras la mente se ocupe solo de sus propias creaciones e imaginaciones. Los conceptos de número y figura no han sido inventados a partir de ninguna otra fuente que no sea el mundo de la realidad".[18]​ : 36 

Además, también sostuvo que:

"antes de que se llegara a la idea de deducir la forma de un cilindro a partir de la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, se debieron examinar una serie de rectángulos y cilindros reales, aunque imperfectos en su forma. Como todas las demás ciencias, las matemáticas surgieron de las necesidades de los hombres... Pero, como en todos los compartimentos del pensamiento, en una determinada etapa de su desarrollo, las leyes, que fueron abstraídas del mundo real, se divorcian del mundo real, y se oponen a él como algo independiente, como leyes que vienen de fuera, a las que el mundo tiene que ajustarse."[18]​

Áreas de las matemáticas con aplicaciones frecuentes

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Cálculo diferencial e integral

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Tanto la mecánica clásica como la mecánica relativista utilizan el lenguaje del cálculo. Esto a su vez permite entender el movimiento de cuerpos celestes y realizar viajes espaciales o poner en órbita satélites artificiales

El cálculo diferencial e integral es usado en cada rama de las ciencias naturales, la estadística, la ingeniería y la economía; e incluso en los negocios, la medicina, la demografía, y más generalmente en cualquier área en la que un problema pueda ser modelado matemáticamente mediante variables continuas de números reales o complejos, y donde se desee obtener una solución óptima; o cuando se deban entender los ciclos e interacciones entre las variables. En palabras de Steven Strogatz:

«El interior de un átomo, las cambiantes poblaciones de la vida salvaje, el clima… todo eso puede explicarse mediante el lenguaje del cálculo. De alguna manera este lenguaje… es simplemente la mejor herramienta que jamás hayamos inventado».[19]​

Análisis numérico

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El campo del análisis numérico incluye muchas subdisciplinas. Algunas de las principales son:

Interpolación, extrapolación y regresión

La interpolación resuelve el siguiente problema: dado el valor de alguna función desconocida en un número de puntos, ¿qué valor tiene esa función en algún otro punto entre los puntos dados?

La extrapolación es muy similar a la interpolación, salvo que ahora hay que encontrar el valor de la función desconocida en un punto que está fuera de los puntos dados.[20]​

La regresión también es similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados unos puntos, y una medida del valor de alguna función en estos puntos (con un error), se puede encontrar la función desconocida. El método de mínimos cuadrados es una forma de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación dada. Se suelen distinguir dos casos, dependiendo de si la ecuación es lineal o no.

Se ha dedicado mucho esfuerzo al desarrollo de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Los métodos directos estándar, es decir, los que utilizan alguna descomposición matricial son la eliminación gaussiana, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para sistemas simétricos (o hermíticos) y definidos positivos, y la descomposición QR para matrices no cuadradas. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, la sobrerrelajación sucesiva y el método del gradiente conjugado[21]​ suelen ser los preferidos para sistemas grandes. Se pueden desarrollar métodos iterativos generales utilizando un desdoblamiento de matriz.

Los algoritmos de búsqueda de raíces se utilizan para resolver ecuaciones no lineales (se llaman así porque una raíz de una función es un argumento para el que la función da cero). Si la función es diferenciable y se conoce la derivada, el método de Newton es una opción popular.[22]​[23]​ La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Resolución de problemas de valores propios o de valores singulares

Varios problemas importantes se pueden plantear en términos de descomposición de valores propios o descomposición de valores singulares. Por ejemplo, el algoritmo de compresión de imágenes espectrales[24]​ se basa en la descomposición del valor singular. La herramienta correspondiente en estadística se llama análisis de componentes principales.

Optimización

Los problemas de optimización preguntan por el punto en el que se maximiza (o minimiza) una función dada. A menudo, el punto también tiene que satisfacer algunas condiciones de contorno.

El campo de la optimización se divide a su vez en varios subcampos, dependiendo de la forma de la función objetivo y de la restricción. Por ejemplo, la programación lineal se ocupa del caso en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso en programación lineal es el método simplex.

El método de los multiplicadores de Lagrange puede utilizarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas de optimización sin restricciones.

Evaluación de integrales

La integración numérica, en algunos casos también conocida como cuadratura numérica, pregunta por el valor de una integral definida.[25]​ Los métodos populares utilizan una de las fórmulas de Newton-Cotes (como la regla del punto medio o la regla de Simpson) o la cuadratura gaussiana.[26]​ Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", mediante la que una integral sobre un conjunto relativamente grande se descompone en integrales sobre conjuntos más pequeños. En dimensiones más altas, donde estos métodos se vuelven prohibitivamente caros en términos de esfuerzo computacional, se puede utilizar el método de Montecarlo o método cuasi-Monte Carlos (véase integración de Monte Carlo[27]​), o, en dimensiones modestamente grandes, el método de sparse grids.

Ecuaciones diferenciales

El análisis numérico también se ocupa de calcular (de forma aproximada) la solución de las ecuaciones diferenciales, tanto las ordinarias como las ecuaciones en derivadas parciales.[28]​

Las ecuaciones diferenciales parciales se resuelven discretizando primero la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita.[29]​ Esto puede hacerse mediante un método de elementos finitos,[30]​[31]​[32]​ un método de diferencias finitas,[33]​ o (especialmente en ingeniería) un método de volumen finito.[34]​ La justificación teórica de estos métodos suele implicar teoremas del análisis funcional. Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica.

Se incluyen como parte central de las matemáticas aplicadas el análisis numérico y la computación científica.

Referencias

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  1. ↑ «matemáticas aplicadas». RAE. 
  2. ↑ Stolz, M. (2002). The History Of Applied Mathematics And The History Of Society 133 (1). Synthese. pp. 43-57. doi:10.1023/A:1020823608217. 
  3. ↑ Stolz, M. (2002), «La historia de las matemáticas aplicadas y la historia de la sociedad», Synthese 133 (1): 43-57, S2CID 34271623, doi:10.1023/A:1020823608217 . (Enlace roto: febrero de 2020)
  4. ↑ University of Strathclyde (17 de enero de 2008), Industrial Mathematics, archivado desde el original el =2012-08-04, consultado el 8 de enero de 2009 .
  5. ↑ a b Perspectives on Mathematics Education: Papers Submitted by Members of the Bacomet Group, pgs 82-3. Editores: H. Christiansen, A.G. Howson, M. Otte. Volumen 2 de la Biblioteca de Educación Matemática; Springer Science & Business Media, 2012. ISBN 9400945043, 9789400945043.
  6. ↑ a b Survey of Applicable Mathematics, pg xvii (Foreword). K. Rektorys; 2ª edición, ilustrada. Springer, 2013. ISBN 9401583080, 9789401583084.
  7. ↑ PENSAMIENTOS SOBRE MATEMÁTICAS APLICADAS.
  8. ↑ CONFERENCIA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS APLICABLES (ICAM-2016). Archivado el 23 de marzo de 2017 en Wayback Machine. Departamento de Matemáticas del Colegio Stella Maris.
  9. ↑ Von Zur Gathen, J., & Gerhard, J. (2013). Modern computer algebra. Cambridge University Press.
  10. ↑ Geddes, K. O., Czapor, S. R., & Labahn, G. (1992). Algorithms for computer algebra. Springer Science & Business Media.
  11. ↑ Albrecht, R. (2012). Álgebra computacional: computación simbólica y algebraica (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
  12. ↑ Mignotte, M. (2012). Matemáticas para el álgebra computacional. Springer Science & Business Media.
  13. ↑ Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introducción al análisis numérico. Springer Science & Business Media.
  14. ↑ Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Análisis numérico elemental: un enfoque algorítmico. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada.
  15. ↑ Greenspan, D. (2018). Análisis numérico. CRC Press.
  16. ↑ Linz, P. (2019). Análisis numérico teórico. Courier Dover Publications.
  17. ↑ Andy Magid (noviembre de 2005) Carta del editor, Notices of the American Mathematical Society, página 1173
  18. ↑ a b Engels, Frederick (1987). Marx Engels Collected Works (Volume 25) (English edición). Moscow: Progress Publishers. p. 33-133. ISBN 0-7178-0525-5. 
  19. ↑ Strogatz, Steven H. (Steven Henry), (2019). Infinite powers : how calculus reveals the secrets of the universe [Poderes infinitos: cómo el cálculo revela los secretos del universo] (en inglés). ISBN 9781328879981. OCLC 1045469644. Consultado el 20 de julio de 2019. 
  20. ↑ Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Métodos de extrapolación: teoría y práctica. Elsevier.
  21. ↑ Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (diciembre de 1952). "Métodos de gradientes conjugados para resolver sistemas lineales". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.
  22. ↑ Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). El método de Newton: Una aproximación actualizada de la teoría de Kantorovich. Birkhäuser.
  23. ↑ Peter Deuflhard, Métodos de Newton para problemas no lineales. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Segunda edición impresa. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)
  24. ↑ «La descomposición del valor singular y sus aplicaciones en la compresión de imágenes». Archivado desde el original el 4 de octubre de 2006. Consultado el 23 de enero de 2022. 
  25. ↑ Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Métodos de integración numérica. Courier Corporation.
  26. ↑ Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature". De MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
  27. ↑ Geweke, J. (1995). Simulación de Monte Carlo e integración numérica. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.
  28. ↑ Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.
  29. ↑ Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
  30. ↑ Johnson, C. (2012). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos. Courier Corporation.
  31. ↑ Brenner, S., & Scott, R. (2007). La teoría matemática de los métodos de elementos finitos. Springer Science & Business Media.
  32. ↑ Strang, G., & Fix, G. J. (1973). Un análisis del método de elementos finitos. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.
  33. ↑ Strikwerda, J. C. (2004). Esquemas de diferencias finitas y ecuaciones diferenciales parciales. SIAM.
  34. ↑ LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.

Bibliografía

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  • Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body & Soul, Springer Verlag, 2004/05, mehrere Bände, ISBN 978-3-540-24340-3, 978-3540228790, 978-3540214014.
  • Norbert Herrmann: Mathematik ist überall, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012, ISBN 978-3-486-71291-9.
  • James P. Keener: Principles Of Applied Mathematics, Westview Press, 2000, ISBN 978-0-7382-0129-0.
  • Burkhard Lenze: Basiswissen Angewandte Mathematik -Numerik, Grafik, Kryptik-, Springer-Vieweg, 2020, ISBN 978-3-658-30027-2.
  • J. David Logan: Applied Mathematics, Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0-471-74662-1.
  • Josef Trölß: Angewandte Mathematik mit MathCad, Springer Verlag, 2007/08, mehrere Bände, ISBN 978-3-211-76742-9, 978-3211711781, 978-3211767467, 978-3211767481.

Enlaces externos

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