Sistema dinámico

Un sistema din�mico es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas f�sicos en situaci�n no estacionaria son ejemplos de sistemas din�micos, pero tambi�n existen modelos econ�micos, matem�ticos y de otros tipos que son sistemas abstractos y, a su vez, sistemas din�micos. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los l�mites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se pueden elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.

Al definir los l�mites del sistema se hace, en primer lugar, una selecci�n de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevar� a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.

El tiempo puede medirse por n�meros enteros, por real o n�mero complejo o puede ser un objeto algebraico m�s general, perdiendo la memoria de su origen f�sico, y el espacio puede ser m�ltiple o simplemente un conjunto, sin necesidad de una estructura espacio-temporal de suave definida sobre �l.

En un momento dado, un sistema din�mico tiene un estado que representa un punto en un espacio de estados apropiado. Este estado suele venir dado por una tupla de n�meros reales o por un vector en una variedad geom�trica. La regla de evoluci�n del sistema din�mico es una funci�n que describe qu� estados futuros se derivan del estado actual. A menudo la funci�n es determinista, es decir, para un intervalo de tiempo dado s�lo un estado futuro se sigue del estado actual.​​ Sin embargo, algunos sistemas son estoc�stico, en los que los sucesos aleatorios tambi�n afectan a la evoluci�n de las variables de estado.

En f�sica, un sistema din�mico' se describe como una "part�cula o conjunto de part�culas cuyo estado var�a con el tiempo y, por tanto, obedece a ecuaciones diferencialess que implican derivadas temporales".​ Para realizar una predicci�n sobre el comportamiento futuro del sistema, se realiza una soluci�n anal�tica de dichas ecuaciones o su integraci�n en el tiempo mediante simulaci�n por ordenador.

El estudio de los sistemas din�micos es el objeto de la teor�a de sistemas din�micos, que tiene aplicaciones a una gran variedad de campos como las matem�ticas, la f�sica,​​ biolog�a,​ qu�mica, ingenier�a,​ econom�a,​ historia, y medicina. Los sistemas din�micos son una parte fundamental de la teor�a del caos, la din�mica del mapa log�stico, la teor�a de la bifurcaci�n, los procesos de autoensamblaje y autoorganizaci�n, y el concepto de borde del caos.

Descripci�n general

El concepto de sistema din�mico tiene su origen en la mec�nica newtoniana. All�, como en otras ciencias naturales y disciplinas de la ingenier�a, la regla de evoluci�n de los sistemas din�micos es una relaci�n impl�cita que da el estado del sistema s�lo para un tiempo corto en el futuro. (La relaci�n es una ecuaci�n diferencial, ecuaci�n de diferencia u otra escala de tiempo]]). Para determinar el estado para todos los tiempos futuros se requiere iterar la relaci�n muchas veces, avanzando cada vez un peque�o paso. El procedimiento de iteraci�n se denomina resolver el sistema o integrar el sistema. Si el sistema puede resolverse, dado un punto inicial es posible determinar todas sus posiciones futuras, una colecci�n de puntos conocida como trayectoria u �rbita'.

Antes de la llegada de los ordenadores, encontrar una �rbita requer�a sofisticadas t�cnicas matem�ticas y s�lo pod�a lograrse para una peque�a clase de sistemas din�micos. Los m�todos num�ricos implementados en m�quinas de computaci�n electr�nica han simplificado la tarea de determinar las �rbitas de un sistema din�mico.

Para sistemas din�micos sencillos, a menudo basta con conocer la trayectoria, pero la mayor�a de los sistemas din�micos son demasiado complicados para entenderlos en t�rminos de trayectorias individuales. Las dificultades surgen porque:

• Los sistemas estudiados s�lo pueden conocerse de forma aproximada: los par�metros del sistema pueden no conocerse con precisi�n o pueden faltar t�rminos en las ecuaciones. Las aproximaciones utilizadas ponen en entredicho la validez o pertinencia de las soluciones num�ricas. Para abordar estas cuestiones se han introducido varias nociones de estabilidad en el estudio de los sistemas din�micos, como la estabilidad de Lyapunov o la estabilidad estructural. La estabilidad del sistema din�mico implica que existe una clase de modelos o condiciones iniciales para los que las trayectorias ser�an equivalentes. La operaci�n de comparaci�n de �rbitas para establecer su equivalencia cambia con las distintas nociones de estabilidad.
• El tipo de trayectoria puede ser m�s importante que una trayectoria en particular. Algunas trayectorias pueden ser peri�dicas, mientras que otras pueden vagar por muchos estados diferentes del sistema. Las aplicaciones requieren a menudo enumerar estas clases o mantener el sistema dentro de una clase. La clasificaci�n de todas las trayectorias posibles ha conducido al estudio cualitativo de los sistemas din�micos, es decir, las propiedades que no cambian bajo cambios de coordenadas. Los Sistemas din�micos lineales y el sistemas que tienen dos n�meros que describen un estado son ejemplos de sistemas din�micos en los que se comprenden las posibles clases de �rbitas.
• El comportamiento de las trayectorias en funci�n de un par�metro puede ser lo que se necesita para una aplicaci�n. Al variar un par�metro, los sistemas din�micos pueden tener puntos de bifurcaci�n donde cambia el comportamiento cualitativo del sistema din�mico. Por ejemplo, puede pasar de tener s�lo movimientos peri�dicos a un comportamiento aparentemente err�tico, como en la transici�n a turbulencia de un fluido.
• Las trayectorias del sistema pueden parecer err�ticas, como si fueran aleatorias. En estos casos puede ser necesario calcular promedios utilizando una trayectoria muy larga o muchas trayectorias diferentes. Los promedios est�n bien definidos para sistemas erg�dicos y se ha elaborado una comprensi�n m�s detallada para sistemas hiperb�licos. La comprensi�n de los aspectos probabil�sticos de los sistemas din�micos ha ayudado a establecer los fundamentos de la mec�nica estad�stica y de la caos.

Historia

Muchos consideran al matem�tico franc�s Henri Poincar� como el fundador de los sistemas din�micos.​ Poincar� public� dos monograf�as ya cl�sicas, "Nuevos m�todos de mec�nica celeste" (1892-1899) y "Conferencias sobre mec�nica celeste" (1905-1910). En ellas, aplic� con �xito los resultados de sus investigaciones al problema del movimiento de tres cuerpos y estudi� en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asint�tica, etc.). Estos trabajos inclu�an el teorema de recurrencia de Poincar�, que afirma que ciertos sistemas, tras un tiempo suficientemente largo pero finito, volver�n a un estado muy pr�ximo al inicial.

Aleksandr Lyapunov desarroll� muchos m�todos de aproximaci�n importantes. Sus m�todos, que desarroll� en 1899, permiten definir la estabilidad de conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Cre� la teor�a moderna de la estabilidad de un sistema din�mico.

En 1913, George David Birkhoff demostr� el "Último teorema geométrico" de Poincaré, un caso especial del problema de los tres cuerpos, resultado que le dio fama mundial. En 1927 publicó su obra Dynamical Systems]. El resultado más duradero de Birkhoff ha sido su descubrimiento en 1931 de lo que ahora se denomina el teorema ergódico. Combinando ideas de la física sobre la hipótesis ergódica con la teoría de la medida, este teorema resolvió, al menos en principio, un problema fundamental de la mecánica estadística. El teorema ergódico también ha tenido repercusiones para la dinámica.

Stephen Smale también realizó avances significativos. Su primera contribución fue el Herradura de Smale que impulsó una importante investigación en sistemas dinámicos. También esbozó un programa de investigación llevado a cabo por muchos otros.

En 1964, Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desarrolló el teorema de Sarkovskii sobre los periodos de los sistemas dinámicos discretos. Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la recta real tiene un punto periódico de período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cualquier otro período.

A finales del siglo XX, la perspectiva de los sistemas dinámicos para las ecuaciones diferenciales parciales empezó a ganar popularidad. El ingeniero mecánico palestino Ali H. Nayfeh aplicó la dinámica no lineal en mecánica y ingeniería de sistemas.​ Su trabajo pionero en dinámica no lineal aplicada ha sido influyente en la construcción y mantenimiento de máquinas y estructuras habituales en la vida cotidiana, como barcos, grúas, puentes, edificios, rascacielos, motores a reacción, motores de cohetes, aviones y naves espaciales.​

Definición formal

En el sentido más general,​​ un sistema dinámico es una tupla (T, X, Φ) donde T es un monoide, escrito aditivamente, X es un conjunto no vacío y Φ es una función.

$\Phi :U\subseteq (T\times X)\to X$

con

$\mathrm {proj} _{2}(U)=X$ (donde $\mathrm {proj} _{2}$ es la segundo proyección)

y para cualquier x en X:

$\Phi (0,x)=x$

$\Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),$

para $\,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)$ y $\ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))$, donde hemos definido el conjunto $I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}$ para cualquier x en X.

En particular, en el caso de que $U=T\times X$ tenemos para cada x en X que $I(x)=T$ y por lo tanto que Φ define una acción monoide de T en X.

La función Φ(t,x) se denomina función de evolución del sistema dinámico: asocia a cada punto x del conjunto X una imagen única, dependiente de la variable t, denominada parámetro de evolución. X se denomina espacio de fases o espacio de estados, mientras que la variable x representa un estado inicial del sistema.

Se puede escribir

$\Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)$

$\Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)$

si tomamos una de las variables como constante.

$\Phi _{x}:I(x)\to X$

se llama flujo a través de x y su gráfica, trayectoria a través de x. El conjunto

$\gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}$

se llama órbita a través de x. Nótese que la órbita a través de x es la imagen del flujo a través de x. Un subconjunto S del espacio de estados X se llama Φ-invariante si para todo x en S y todo t en T

$\Phi (t,x)\in S.$

Así, en particular, si S es Φ-invariante, $I(x)=T$ para todo x en S. Es decir, el flujo a través de x debe estar definido para todo el tiempo para cada elemento de S.

Más comúnmente hay dos clases de definiciones para un sistema dinámico: una está motivada por ecuación diferencial ordinarias y es geométrica en sabor; y la otra está motivada por teoría ergódica y es teoría de la medida en sabor.

Definición geométrica

En la definición geométrica, un sistema dinámico es la tupla $\langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle$. ${\mathcal {T}}$ es el dominio para el tiempo - hay muchas opciones, por lo general los reales o los enteros, posiblemente restringido a ser no negativo. ${\mathcal {M}}$ es un variedad, es decir, localmente un espacio de Banach o un espacio euclidiano, o en el caso discreto un grafo. f es una regla de evolución t → f ^t (con $t\in {\mathcal {T}}$) tal que f ^t es un difeomorfismo de la variedad respecto a sí misma. Por lo tanto, f es un mapeo "suave" del dominio temporal ${\mathcal {T}}$ en el espacio de difeomorfismos de la variedad consigo misma. En otros términos, f(t) es un difeomorfismo, para cada tiempo t en el dominio ${\mathcal {T}}$ .

Sistema dinámico real

Un sistema din'amico real, sistema din'amico en tiempo real, tiempo continuo sistema din'amico, o flujo es una tupla (T, M, Φ) con T un intervalo abierto en el número real R, M un colector localmente difeomorfo a un espacio de Banach, y Φ una función continua. Si Φ es continuamente diferenciable, entonces el sistema es un sistema dinámico diferenciable. Si la variedad M es localmente difeomorfa a Rⁿ, el sistema dinámico es finito-dimensional; si no, el sistema dinámico es infinito-dimensional. Nótese que esto no supone un estructura simpléctica. Cuando T se toma como los reales, el sistema dinámico se llama global o un flujo; y si T se restringe a los reales no negativos, entonces el sistema dinámico es un semi-flujo.

Sistema dinámico discreto

Un sistema din'amico discreto, tiempo discreto sistema din'amico' es una tupla (T, M, Φ), donde M es una manifold localmente difeomorfa a un espacio de Banach, y Φ es una funci'on. Cuando T se toma como los enteros, es una cascada o un mapa. Si T se restringe a los enteros no negativos llamamos al sistema una semicascada.​

Autómata celular

Un autómata celular es una tupla (T, M, Φ), siendo T una red tal como los enteross o una red de enteros de dimensiones superiores, M es un conjunto de funciones de una red de enteros (de nuevo, con una o más dimensiones) a un conjunto finito, y Φ una función de evolución (definida localmente). Como tales, los autómatas celulares son sistemas dinámicos. La red en M representa la red "espacial", mientras que la red en T representa la red "temporal".

Generalización multidimensional

Los sistemas dinámicos suelen definirse sobre una única variable independiente, considerada como tiempo. Una clase más general de sistemas se definen sobre múltiples variables independientes, por lo que se denominan sistemas multidimensionales. Estos sistemas son útiles para modelar, por ejemplo, el procesamiento de imágenes.

Compactificación de un sistema dinámico

Dado un sistema dinámico global (R, X, Φ) en un espacio localmente compacto y Hausdorff espacio topológico X, suele ser útil estudiar la extensión continua Φ* de Φ a la compactificación en un punto X* de X. Aunque perdemos la estructura diferencial del sistema original ahora podemos utilizar argumentos de compacidad para analizar el nuevo sistema (R, X*, Φ*).

En sistemas dinámicos compactos el conjunto límite de cualquier órbita es no vacío, compacto y simplemente conexo.

Elementos a tener en cuenta

En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta:

1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción.
2. El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas causales.
3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al sistema sin que este las provoque) y las variables endógenas (afectan al sistema pero este sí las provoca).

Ejemplo de sistema dinámico

Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es $X_{k}$, el año próximo será $X_{k+1}$. De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: año inicial $X_{0}$, año primero $X_{1}$,........... ......, año k $X_{k}$.

Como se puede observar :$x_{k+1}=f(x_{k})\,\!$, se cumple para cualquier año k; lo cual significa que la cantidad de peces se puede determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación representa un sistema dinámico.

Tipos de sistemas dinámicos

Los sistemas dinámicos se dividen en sistemas discretos en el tiempo y continuos en el tiempo. Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; estos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:

$x_{t+1}=ax_{t}(1-x_{t})\,\!$

donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con este. Un sistema dinámico discreto determinista general puede modelarse mediante una ecuación abstracta del tipo:

Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

${\frac {dx}{dt}}=ax(1-x)$

donde x es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector en R^k.

Sistemas lineales y no lineales

Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En los sistemas lineales, el segundo miembro de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de x, tal como:

$x_{n+1}=3x_{n}\,\!$

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles.

Véase también

• No linealidad
• Dinámica de sistemas
• Cibernética
• Teoría de sistemas
• Realimentación
• Sistema de control

Bibliografía adicional

• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden (1978). Foundations of mechanics. Benjamin–Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.  (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
• Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
• Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana (2005). Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Springer. ISBN 978-3-540-22066-4. 
• Stephen Smale (1967). «Differentiable dynamical systems». Bulletin of the American Mathematical Society 73 (6): 747-817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1. 
• Arnold, Vladimir I. (2006). «Fundamental concepts». Ordinary Differential Equations. Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-34563-9. 
• Chueshov, I. D. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems.  online version of first edition on the EMIS site [1].
• Temam, Roger (1997). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer Verlag. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Sistema dinámico.

Libros

• Teoría y ejercicios prácticos de Dinámica de Sistemas

Revistas

• Boletín de Dinámica de Sistemas
• Revista de Dinámica de Sistemas

Software

• Vensim
• AnyLogic
• Powersim Studio
• CONSIDEO
• Stella iThink
• MapSys Archivado el 20 de febrero de 2018 en Wayback Machine.
• Simile
• Evolución

Organizaciones

• System Dynamics Society
• MIT System Dynamics Group
• New England Complex Systems Institute
• The Systems Thinker
• University of Bergen System Dynamics Group
• UPC Dynamical Systems Group Grupo de Sistemas Dinámicos de la Universitat Politècnica de Catalunya.

• Datos: Q638328
• Multimedia: Dynamical systems / Q638328