Teoría perturbacional

En mecánica cuántica, la teoría perturbacional o teoría de perturbaciones es un conjunto de esquemas aproximados para describir sistemas cuánticos complicados en términos de otros más sencillos. La idea es empezar con un sistema simple y gradualmente ir activando hamiltonianos "perturbativos", que representan pequeñas alteraciones al sistema. Si la alteración o perturbación no es demasiado grande, las diversas magnitudes físicas asociadas al sistema perturbado (por ejemplo sus niveles de energía y sus estados propios) podrán ser generados de forma continua a partir de los del sistema sencillo. De esta forma, podemos estudiar el sistema complejo basándonos en el sistema sencillo.

En particular al estudiar las energías de un sistema físico, el método consiste en identificar dentro del Hamiltoniano (perturbado) que parte de este corresponde a un problema con solución conocida (Hamiltoniano no perturbado en caso de que su solución sea analítica) y considerar el resto como un potencial que modifica al anterior Hamiltoniano. Dicha identificación permite escribir a los autoestados del Hamiltoniano perturbado como una combinación lineal de los autoestados del Hamiltoniano sin perturbar y a las autoenergías como las autoenergías del problema sin perturbar más términos correctivos.

Procedimiento

Caso no degenerado

Sea $H\,$ el Hamiltoniano de un sistema físico. De acuerdo con lo antes mencionado, el mismo se puede escribir como ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}$, donde ${\hat {H}}_{0}$ corresponde al Hamiltoniano sin pertubar (cuyas soluciones se conocen) y ${\hat {V}}$ es el potencial que modifica a $H_{0}\,$. El parámetro $\lambda \,$ controla la magnitud de la perturbación. En general es un parámetro ficticio que se usa por conveniencia matemática y que al final del análisis se toma $\lambda =1\,$. Por otro lado, los autoestados de $H\,$ se escriben como una combinación lineal de los autoestados de $H_{0}\,$

$|\psi _{n}\rangle =\sum _{m}\sum _{k}\lambda ^{k}c_{nm}^{(k)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle$

y las energías como

$E_{n}=\sum _{k}\lambda ^{k}E_{n}^{(k)}$

donde $E_{n}^{(k)}$ es la $k$-ésima corrección a la energía. El índice $k\,$ indica el orden de la corrección comenzando por $k=0\,$. Es decir, cuanto mayor sea $k\,$, mejor aproximación se tendrá y para $k=0\,$ no hay corrección alguna. En las anteriores expresiones se ha supuesto que

$H_{0}|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle$ y $H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle$

Si reemplazamos las expresiones para $H$, $E_{n}$ y $|\psi _{n}\rangle$ en la segunda ecuación de la anterior línea se tiene

$H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle$ $(H_{0}+\lambda V)\sum _{m}\sum _{k}\lambda ^{k}c_{nm}^{(k)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle =(\sum _{k_{1}}\lambda ^{k_{1}}E_{n}^{(k_{1})})\sum _{m'}\sum _{k_{2}}\lambda ^{k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{k}\sum _{m}\lambda ^{k}c_{nm}^{(k)}(E_{m}^{(0)}+\lambda V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{k_{1}}\sum _{k_{2}}\sum _{m'}E_{n}^{(k_{1})}\lambda ^{k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{k}\sum _{m}\lambda ^{k}c_{nm}^{(k)}(E_{m}^{(0)}+\lambda V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{k_{1},k_{2}}\sum _{m'}E_{n}^{(k_{1})}\lambda ^{k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{m}c_{nm}^{(0)}E_{m}^{(0)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle +\sum _{k=1}\sum _{m}\lambda ^{k}(c_{nm}^{(k)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(k-1)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{m'}c_{nm'}^{(0)}E_{n}^{(0)}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle +\sum _{k_{1}+k_{2}=1}\sum _{m'}E_{n}^{(k_{1})}\lambda ^{k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{m}c_{nm}^{(0)}(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)})|\psi _{m}^{(0)}\rangle +\sum _{k=1}\sum _{m}\lambda ^{k}(c_{nm}^{(k)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(k-1)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{k_{1}+k_{2}=1}\sum _{m'}E_{n}^{(k_{1})}\lambda ^{k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$

Esta igualdad se debe satisfacer para todo orden de $\lambda$. El primer término del lado izquierdo de la última línea corresponde al orden $k=0$ y debe ser idénticamente nulo ya que del lado derecho de la igualdad no existen términos de dicho orden en $\lambda$. Esto implica que, para que toda la suma se anule, los $c_{nm}^{(0)}=\delta _{nm}$, donde $\delta _{nm}$ es la delta de Kronecker.

Por otro lado, cuando $k=1$ se tiene en el lado izquierdo el primer orden de $\lambda$ que se obtiene en el lado derecho cuando $k_{1}+k_{2}=1$, es decir cuando $k_{1}=1\wedge k_{2}=0$ o bien cuando $k_{1}=0\wedge k_{2}=1$. Por lo tanto se tiene

$\sum _{m}(c_{nm}^{(1)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(0)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{m'}(E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(1)})|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$

Para el segundo orden, $k=2$ y $k_{1}=2\wedge k_{2}=0$, $k_{1}=1\wedge k_{2}=1$ y $k_{1}=0\wedge k_{2}=2$, entonces

$\sum _{m}(c_{nm}^{(2)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{m'}(E_{n}^{(2)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(2)})|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$

Para el tercer orden, $k=3$ y $k_{1}=3\wedge k_{2}=0$, $k_{1}=2\wedge k_{2}=1$, $k_{1}=1\wedge k_{2}=2$ y $k_{1}=0\wedge k_{2}=3$, entonces

$\sum _{m}(c_{nm}^{(3)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\sum _{m'}(E_{n}^{(3)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(2)}c_{nm'}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(3)})|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$

y así sucesivamente hasta el orden que se desee. A partir de las anterior igualdades es posible calcular todos los coeficientes $c_{nm}^{(k)}$ de las combinaciones lineales y las correcciones a las energías $E_{n}^{k}$. Para obtenerlas se procede del siguiente modo: primero se usa el hecho que $c_{nm}^{(0)}=\delta _{nm}$ con lo cual, para los tres órdenes respectivamente se tiene,

$\sum _{m}c_{nm}^{(1)}E_{m}^{(0)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle +V|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(1)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle +\sum _{m'}E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(1)}|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{m}(c_{nm}^{(2)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(2)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle +\sum _{m'}(E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(2)})|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$ $\sum _{m}(c_{nm}^{(3)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(3)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle +\sum _{m'}(E_{n}^{(2)}c_{nm'}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(3)})|\psi _{m'}^{(0)}\rangle$

Para hallar las correcciones a la energía se debe multiplicar por el bra $\langle \psi _{n}^{(0)}|$ y usar que $\langle \psi _{n}^{(0)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle =\delta _{nm}$, obteniéndose entonces

$c_{nn}^{(1)}E_{n}^{(0)}+\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(1)}$ $c_{nn}^{(2)}E_{n}^{(0)}+\sum _{m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(2)}+(E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(2)})$ $c_{nn}^{(3)}E_{n}^{(0)}+\sum _{m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(3)}+(E_{n}^{(2)}c_{nn}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(3)})$

Reordenando las anteriores expresiones y despejando para la corrección deseada se tiene

$E_{n}^{(1)}=\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle$ $E_{n}^{(2)}=\sum _{m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle -E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(1)}$ $E_{n}^{(3)}=\sum _{m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle -(E_{n}^{(2)}c_{nn}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(2)})$

De este modo se han obtenido las correcciones para las energías en términos de relaciones recursivas partiendo de la primera corrección cuyo valor es el elemento de matriz $E_{n}^{(1)}=\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle$. Las correcciones también dependen de los coeficientes de las combinaciones lineales. Estos pueden ser hallados con un razonamiento similar, en efecto, si en vez de haber multiplicar por $\langle \psi _{n}^{(0)}|$ se multiplica por $\langle \psi _{l}^{(0)}|$ con $l\neq n$ se tiene

$c_{nl}^{(1)}E_{l}^{(0)}+\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}c_{nl}^{(1)}$ $c_{nl}^{(2)}E_{l}^{(0)}+\sum _{m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nl}^{(2)}$ $c_{nl}^{(3)}E_{l}^{(0)}+\sum _{m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(2)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nl}^{(3)}$

Reordenando para este caso,

$c_{nl}^{(1)}={\frac {\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}$ $c_{nl}^{(2)}={\frac {\sum _{m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle -E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}$ $c_{nl}^{(3)}={\frac {\sum _{m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{m}^{(0)}\rangle -(E_{n}^{(2)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(2)})}{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}$

Los coeficientes $c_{nn}^{(k)}$ se calculan por normalización del estado $|\psi _{n}\rangle$. Una vez obtenidos todos los coeficientes y las correcciones a la energía del orden deseado se los reemplaza en las expresiones expuestas inicialmente para determinar los autoestados de $H$ y las autoenergías de dicho operados, respectivamente.

Por ejemplo, si se desea calcular la corrección para la energía a primer orden y los autoestados correspondientes, las expresiones

$|\psi _{n}\rangle =\sum _{m}\sum _{k}\lambda ^{k}c_{nm}^{(k)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle$ y $E_{n}=\sum _{k}\lambda ^{k}E_{n}^{(k)}$

se cortan para $k=1$ quedando

$|\psi _{n}\rangle =\sum _{m}c_{nm}^{(0)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle +\sum _{m}c_{nm}^{(1)}|\psi _{m}^{(0)}\rangle$ y $E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}$

luego, se reemplazan los resultados antes hallados

$|\psi _{n}\rangle =(1+c_{nn}^{(1)})|\psi _{n}^{(0)}\rangle +\sum _{m\neq n}{\frac {\langle \psi _{l}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}|\psi _{m}^{(0)}\rangle$ y $E_{n}=E_{n}^{(0)}+\langle \psi _{n}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle$

y se obtienen las aproximaciones de los estados y las energías para el problema con la perturbación $V$.

Caso degenerado

Ahora veamos el caso en que el operador no perturbado $\displaystyle {{\hat {H}}_{0}}$ posea valores propios degenerados. Llamemos $|\psi _{n}^{k}\rangle$ a estas autofunciones (que tomaremos ortonormales $\langle \psi _{n}^{p}|\psi _{m}^{k}\rangle =\delta _{nm}\delta _{kp}$ ) asociadas al autovalor $\displaystyle {E_{n}^{(0)}}$.

${\hat {H}}_{0}|\psi _{n}^{k}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psi _{n}^{k}\rangle$

Debemos recordar que las combinaciones lineales de los autoestados degenerados de un mismo nivel energético forman un subespacio vectorial del espacio de Hilbert del sistema físico. Es decir, cualquier combinación lineal de los estados $|\psi _{n}^{k}\rangle$ es a su vez un autoestado de $\displaystyle {{\hat {H}}_{0}}$ con el mismo autovalor. En este caso surgen complicaciones matemáticas que nos obligan a considerar solamente las aproximaciones al primer orden en la energía y a orden cero en las autofunciones. En efecto, buscamos resolver:

$({\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}})|\psi \rangle =E|\psi \rangle$

Donde asumimos que podemos escribir

$|\psi \rangle =\sum _{k}C_{k}|\psi _{n}^{k}\rangle$

$E=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}$

Donde los coeficientes $C_{k}$ son de orden cero en $\lambda$. Reemplazando en la ecuación de Schrödinger:

$\sum _{k}C_{k}{\hat {V}}|\psi _{n}^{k}\rangle =E_{n}^{(1)}\sum _{k}C_{k}|\psi _{n}^{k}\rangle$

Haciendo producto interno con $|\psi _{n}^{p}\rangle$ y definiendo $V_{pk}=\langle \psi _{n}^{p}|{\hat {V}}|\psi _{n}^{k}\rangle$ obtenemos:

$\sum _{k}V_{pk}C_{k}=E_{n}^{(1)}\sum _{k}C_{k}\delta _{pk}$

Si consideramos la matriz $V$ formada por los elementos matriciales $V_{pk}$ y el vector columna $C$ (de elementos $C_{k}$), es fácil darse cuenta de que la ecuación anterior puede escribirse en forma matricial:

$VC=E_{n}^{(1)}C$

La anterior ecuación es una ecuación de valores propios. Puesto que requerimos soluciones no nulas para las autofunciones debe cumplirse que:

$|V-E_{n}^{(1)}I|=0$

La anterior es una ecuación de grado igual al orden de degeneración $\displaystyle {g_{n}}$ del nivel $E_{n}^{(0)}$, y tiene en general $\displaystyle {g_{n}}$ soluciones diferentes. Estas soluciones van a ser las correcciones (al primer orden en $\lambda$) de la energ�a. Los autoestados correspodientes son las soluciones de la ecuaciones para los $C_{k}$ (t�ngase en cuenta que en las ecuaciones de este tipo siempre queda una inc�gnita arbitraria que luego ser� la que permite la normalizaci�n del autoestado). Puesto que en general las soluciones para $E_{n}^{(1)}$ ser�n diferentes, ya no habr� degeneraci�n en el sistema perturbado. Se dice que la perturbaci�n rompe la degeneraci�n'. En otros casos, la degeneraci�n puede ser rota en forma parcial, es decir, se puede obtener un sistema de autoestados con una degeneraci�n menor a la original.

Teor�a de perturbaciones de muchos cuerpos

Tambi�n llamada �teor�a de perturbaciones de M�ller-Plesset� y �teor�a de perturbaciones de Rayleigh y Schr�dinger� por sus usos tempranos en mec�nica cu�ntica, se le llama �de muchos cuerpos� por su popularidad entre los f�sicos que trabajan con sistemas infinitos. Para ellos, la consistencia con la talla del problema, que se discute m�s abajo, es una cuesti�n de gran importancia, obviamente.

Representaci�n diagram�tica y consistencia con la talla del problema

La teor�a perturbacional es, como la interacci�n de configuraciones, un procedimiento sistem�tico que se puede usar para encontrar la energ�a de correlaci�n, m�s all� del nivel Hartree-Fock. La teor�a de perturbaciones no es un m�todo variacional, con lo que no da cotas superiores de la energ�a, sino solamente aproximaciones sucesivamente mejores. En cambio, s� que es consistente con la talla del problema (esto es: la energ�a de las energ�as calculadas para dos sistemas es igual a la energ�a calculada para el sistema suma).

R. P. Feynman ide� una representaci�n diagram�tica de la teor�a de perturbaciones de Rayleigh y Schr�dinger, y la aplic� en sus trabajos de electrodin�mica cu�ntica. Inspirado por �l, J. Goldstone us� estas representaciones para demostrar la consistencia de la talla (mostr� que ciertas contribuciones, que aparentemente romp�an la consistencia, se anulaban sistem�ticamente a cualquier orden de perturbaci�n).

Con ayuda de estas mismas representaciones, H. P. Kelly llev� a cabo por primera vez la aproximaci�n del par electr�nico independiente, sumando ciertas partes de la perturbaci�n (ciertos diagramas) hasta un orden infinito.

Aplicaciones de la teor�a perturbacional

La teor�a perturbacional es una herramienta extremadamente importante para la descripci�n de sistemas cu�nticos reales, ya que es muy dif�cil encontrar soluciones exactas a la ecuaci�n de Schr�dinger a partir de hamiltonianos de complejidad moderada. De hecho, la mayor�a de los hamiltonianos para los que se conocen funciones exactas, como el �tomo de hidr�geno, el oscilador arm�nico cu�ntico y la part�cula en una caja est�n demasiado idealizados como para describir a sistemas reales. A trav�s de la teor�a de las perturbaciones, es posible usar soluciones de hamiltonianos simples para generar soluciones para un amplio espectro de sistemas complejos. Por ejemplo, a�adiendo un peque�o potencial el�ctrico perturbativo al modelo mecanocu�ntico del �tomo de hidr�geno, se pueden calcular las peque�as desviaciones en las l�neas espectrales del hidr�geno causadas por un campo el�ctrico (el efecto Stark). (Hay que notar que, estrictamente, si el campo el�ctrico externo fuera uniforme y se extendiera al infinito, no habr�a estado enlazado, y los electrones terminar�an saliendo del �tomo por efecto t�nel, por d�bil que fuera el campo. El efecto Stark es una pseudoaproximaci�n.)

Las soluciones que produce la teor�a perturbacional no son exactas, pero con frecuencia son extremadamente acertadas. T�picamente, el resultado se expresa en t�rminos de una expansi�n polin�mica infinita que converge r�pidamente al valor exacto cuando se suma hasta un grado alto (generalmente, de forma asint�tica). En la teor�a de la electrodin�mica cu�ntica, en la que la interacci�n electr�n - fot�n se trata pertrubativamente, el c�lculo del momento magn�tico del electr�n est� de acuerdo con los resultados experimentales hasta las primeras 11 cifras significativas. En electrodin�mica cu�ntica y en teor�a cu�ntica de campos, se usan t�cnicas especiales de c�lculo, conocidas como diagramas de Feynman, para sumar de forma sistem�tica los t�rminos de las series polin�micas.

Bajo ciertas circunstancias, la teor�a perturbacional no es camino adecuado. Este es el caso cuando el sistema en estudio no se puede describir por una peque�a perturbaci�n impuesta a un sistema simple. En cromodin�mica cu�ntica, por ejemplo, la interacci�n de los quarks con el campo de los gluones no puede tratarse perturbativamente a bajas energ�as, porque la energ�a de interacci�n se hace demasiado grande. La teor�a de perturbaciones tampoco puede describir estados con una generaci�n no-continua, incluyendo estados enlazados y varios fen�menos colectivos como los solitones. Un ejemplo ser�a un sistema de part�culas libres (sin interacci�n), en las que se introduce una interacci�n atractiva. Dependiendo de la forma de la interacci�n, se puede generar un conjunto de estados propios completamente nuevo, que corresponder�a a grupos de part�culas enlazadas unas a otras. Un ejemplo de este fen�meno puede encontrarse en la superconductividad convencional, en la que la atracci�n entre electrones de conducci�n mediada por fonones lleva a la formaci�n de electrones fuertemente correlacionados, conocidos como pares de Cooper. Con este tipo de sistemas, se debe usar otros esquemas de aproximaci�n, como el m�todo variacional o la aproximaci�n WKB.

El problema de los sistemas no perturbativos ha sido aliviado por el advenimiento de los ordenadores modernos. Ahora es posible obtener soluciones num�ricas, no perturbativas para ciertos problemas, usando m�todos como la Teor�a del Funcional de la Densidad (DFT). Estos avances han sido de particular utilidad para el campo de la qu�mica cu�ntica. Tambi�n se han usado ordenadores para llevar a cabo c�lculos de teor�a perturbacional a niveles extraordinariamente altos de precisi�n, algo importante en f�sica de part�culas para obtener resultados comparables a los resultados experimentales.

V�ase tambi�n

• Teorema adiab�tico

Referencias

Bibliograf�a

• William E. Wiesel (2010). Modern Astrodynamics. Ohio: Aphelion Press. p. 107. ISBN 978-145378-1470.
• Cropper, William H. (2004), Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking, Oxford University Press, p. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.
• Perturbation theory. N.N. Bogolyubov, jr. (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
• Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). Modern quantum mechanics (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5.
• Mart�nez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Alternative analysis to perturbation theory in quantum mechanics". The European Physical Journal D 66. doi:10.1140/epjd/e2011-20654-5. edit

• Datos: Q10886678