Monoid
See artikkel r��gib universaalalgebrast; monoidi �ldistuse kohta kategooriate teoorias vaata artiklit Monoid (kategooriate teooria) |
Monoidiks nimetatakse matemaatikas tavaliselt �he assotsiatiivse binaarse tehtega universaalalgebrat, milles leidub �hikelement.
Monoidi v�ib veel iseloomustada
- hulgana, millel on defineeritud assotsiatiivne binaarne algebraline tehe nii, et selles hulgas leidub �hikelement
- assotsiatiivse r�hmoidina, milles leidub �hikelement
- poolr�hmana, milles leidub �hikelement.
Monoid rahuldab k�iki r�hma aksioome peale p��rdelementide olemasolu. Seet�ttu v�ib �elda, et r�hm on p��rdelementidega monoid.
Kui monoidi tehe on kommutatiivne, siis on tegu kommutatiivse monoidi ehk Abeli monoidiga.
Formaalne definitsioon
[muuda | muuda l�hteteksti]Monoid on hulk M, millel on defineeritud binaarne algebraline tehe * M × M → M, mille puhul on t�idetud j�rgmised tingimused:
- assotsiatiivsus: mis tahes a, b ja c korral hulgast M kehtib v�rdus (a*b)*c = a*(b*c)
- �hikelemendi olemasolu: hulgas M leidub niisugune element e, et hulga M mis tahes elemendi a korral kehtib v�rdus a*e = e*a = a.
Kui definitsioonis on binaarse algebralise tehte asemel mainitud lihtsalt binaarset tehet, siis tuleb lisada veel �ks tingimus:
- kinnisus: mis tahes a ja b korral hulgast M on a*b hulga M element.
N�ited
[muuda | muuda l�hteteksti]- Igal �he elemendiga hulgal {x} saab defineerida �he elemendiga (triviaalse) monoidi. Iga x korral leidub ainult �ks niisugune monoid, sest monoidi tehte saab defineerida ainult v�rdusega x*x = x. Teiselt poolt, �he elemendiga monoid eksisteerib iga x puhul, sest �laltoodud v�rduse puhul osutub x �hikelemendiks.
- Iga r�hm on monoid ja iga Abeli r�hm on kommutatiivne monoid.
- Iga poolv�re on idempotentne kommutatiivne monoid.
- Igast poolr�hmast S saab konstrueerida monoidi, lisades sellele elemendi e, mis ei kuulu hulka S, ning defineerides tehted elemendiga e j�rgmiselt: ee = e ja mis tahes s ∈ S korral es = s = se . Seda konstruktsiooni saab rakendada ka monoidile, nii et saadakse uus monoid uue �hikelemendiga.
- Naturaalarvude hulka v�ib vaadelda kommutatiivse monoidina nii liitmise suhtes (�hikelemendiks on 0) kui ka korrutamise suhtes (�hikelemendiks on 1).
- �hikelemendiga ring on monoid nii liitmise kui ka korrutamise suhtes.
- T�isarvude hulka, ratsionaalarvude hulka, reaalarvude hulka ja kompleksarvude hulka saab vaadelda monoidina nii liitmise kui ka korrutamise suhtes.
- K�ikide n�n-maatriksite hulk �le antud ringi on nii maatriksite liitmise kui ka maatriksite korrutamise suhtes monoid.
- K�ikide l�plike stringide hulk antud t�hestikus Σ moodustab monoidi stringide kontanetatsiooni suhtes. �hikelemendiks on t�hi string. Seda monoidi t�histatakse Σ* ning nimetatakse vabaks monoidiks �le Σ.
- Olgu antud monoid M. Vaatleme selle potentshulka P(M), mis koosneb hulga M k�ikidest alamhulkadest. Potentshulgal saab defineerida binaarse algebralise tehte j�rgmiselt: S * T = {s*t: s∈S ja t∈T}. Sel juhul saame monoidi, mille �hikelement on {e}. Samal moel osutub monoidiks r�hma G potentshulk, millel tehteks on alamhulkade korrutamine.
- Olgu S mingi hulk. K�ikide funktsioonide S→S hulk moodustab monoidi funktsioonide korrutamise suhtes. �hikelemendiks on samasusfunktsioon. Kui S on n-elemendiline l�plik hulk, siis funktsioonide monoid hulgal S on nn-elemendiline l�plik hulk.
- Seda n�idet saab �ldistada kategooriate teoorias. Olgu C mingi kategooria ja X mingi objekt kategoorias C. Objekti X k�ikide endomorfismide hulk EndC(X) moodustab monoidi morfismide korrutamise suhtes.
Omadused
[muuda | muuda l�hteteksti]Ühikelemendi ainsus
[muuda | muuda lähteteksti]Monoidi definitsioonist järeldub, et tal on üksainus ühikelement. Tõepoolest, oletame, et monoidil M on ühikelemendid e ja i. Siis e*i=e, sest i on ühikelement, ja e*i=i, sest e on ühikelement. Järelikult e=i, seega ühikelemendid langevad kokku.
Pööratavad elemendid
[muuda | muuda lähteteksti]Monoidi elementi x nimetatakse pööratavaks, kui on olemas niisugune element y, et x*y=e ja y*x = e. Sel juhul nimetatakse elementi y elemendi x pöördelemendiks.
Elemendil x saab olla ainult üks pöördelement. Tõepoolest, oletame, et x ja z on elemendi x pöördelemendid. Sel juhul tehte assotsiatiivsuse tõttu
- z=z*e=z*(x*y)=
- =(z*x)*y=e*y,
seega z=y, nii et elemendi x pöördelemendid langevad kokku. Seetõttu tähistatakse pööratava elemendi x (ainsat) pöördelementi ka x−1.
Monoidi M kõikide pööratavate elementide hulk tehtega * moodustab rühma. Selles mõttes sisaldub igas monoidis rühm.
Taandatavusomadusega monoidid
[muuda | muuda lähteteksti]Iga monoid ei ole isomorfne mingi rühma alammonoidiga. Monoidis võivad leiduda kaks elementi a ja b nii, et a*b=a, kuigi b ei ole ühikelement. Selline monoid ei ole isomorfne mõne rühma alammonoidiga, sest rühmas saaks korrutada ülaltoodud võrduse mõlemad pooled vasakult elemendi a pöördelemendiga ning tuleks välja, et b=e, mis aga kõnealusel juhul pole tõsi.
Monoidil (M,*) on taandatavusomadus, kui mis tahes a, b ja c puhul hulgast M järeldub sellest, et a*b=a*c, et b=c ning sellest, et b*a=c*a, järeldub, et b=c.
Taandatavusomadusega kommutatiivne monoid on isomorfne mõne rühma alammonoidiga. Nii näiteks on naturaalarvude monoid liitmise suhtes alammonoid täisarvude rühmas liitmise suhtes. Kui taandatavusomadusega monoid ei ole kommutatiivne, siis ta ei pruugi olla isomorfne mõne rühma alammonoidiga.
Taandatavusomadusega lõplik monoid on isomorfne mõne rühmaga.
Pöördmonoid
[muuda | muuda lähteteksti]Pöördmonoid on monoid M, milles mis tahes elemendi a jaoks leidub üks ja ainult üks a−1∈M nii, et a=a*a−1*a ja a−1=a−1*a*a−1.
Alammonoidid
[muuda | muuda lähteteksti]Monoidi M alammonoid N on hulga M alamhulk N, mis sisaldab ühikelementi ning mille mis tahes elementide korrutis on hulga N element. Hulk N moodustab siis ise monoidi, mille tehe on saadud monoidi M tehte kitsendamisel hulgale N.
Monoidide homomorfismid
[muuda | muuda lähteteksti]Homomorfism monoidide (M, *) ja (M′, @) vahel on funktsioon f: M→M′, mille korral
- hulga M mis tahes elementide x ja y korral M'f(x*y) = f(x)@f(y)
- ja f(e) = e′,
kus e ja e′ on vastavalt monoidi M ja monoidi M′ ühikelement.
Monoidide kui rühmoidide homomorfism ei puugi olla monoidide homomorfism, sest ta ei pruugi säilitada ühikelementi. Olukord on seega teistsugune kui rühmade puhul: rühmade kui rühmoidide homomorfism on alati rühmade homomorfism.
Kui monoidide homomorfism on bijektiivne, siis teda nimetatakse monoidide isomorfismiks. Kui kahe monoidi vahel on olemas isomorfism, siis neid monoide nimetatakse isomorfseteks.
Seos kategooriateooriaga
[muuda | muuda lähteteksti]Monoide võib vaadelda kategooriate erijuhuna. Tõepoolest, monoidi tehte aksioomid on täpselt samad mis morfismide korrutamisel, kui tegemist on objekti morfismidega iseendale.
Monoidi võib seega vaadelda üheainsa objektiga kategooriana: kui on antud monoid (M,*), siis saab konstrueerida üheainsa objektiga väikese kategooria, mille morfismid on monoidi M elemendid. Morfismide korrutamine on antud monoidi tehtega *.
Monoidide homomorfisme võib selles konstruktsioonis vaadelda funktoritena üheelemendiliste kategooriate vahel.
Nõnda võib kategooriaid vaadelda monoidide üldistusena. Paljusid monoidide teooria derfinitsioone ja teoreeme saab üldistada mitme objektiga väikestele kategooriatele.
Monoidide kategooria
[muuda | muuda lähteteksti]Monoidid moodustavad monoidide kategooria Mon, mille objektid on monoidid ja mille morfismid on monoidide homomorfismid.
Monoidobjekt kategooriateoorias
[muuda | muuda lähteteksti]Monoide saab kategooriateoorias abstraktselt defineerida monoidobjektidena.
Välislingid
[muuda | muuda lähteteksti]Vikisõnastiku artikkel: monoid |