Geometria algébrica

A geometria alg�brica � uma �rea da matem�tica que combina t�cnicas de �lgebra abstrata, especialmente de �lgebra comutativa, com a linguagem e os problemas da geometria. Ela ocupa um papel central na matem�tica moderna e possui v�rias conex�es conceituais com �reas t�o diversas quanto an�lise complexa, topologia e teoria de n�meros. Inicialmente um estudo dos sistemas de equa��es polinomiais em v�rias vari�veis, o objeto de estudo da geometria alg�brica come�a onde a resolu��o de equa��es termina, e torna-se ainda mais importante compreender as propriedades intr�nsecas da totalidade de solu��es de um sistema de equa��es, do que encontrar alguma solu��o; isso leva a algumas das �reas mais profundas em toda a matem�tica, tanto conceitualmente quanto em termos t�cnicos.

Os objetos de estudo fundamentais em geometria alg�brica s�o as variedades alg�bricas, manifesta��es geom�tricas das solu��es de sistemas de equa��es polinomiais. As curvas alg�bricas planas, que incluem retas, c�rculos, par�bolas, lemniscatas, e ovais de Cassini, formam uma das classes mais estudadas de variedades alg�bricas. Um ponto do plano pertence a uma curva alg�brica se suas coordenadas satisfazem uma equa��o polinomial dada. Quest�es b�sicas envolvem a posi��o relativa entre curvas distintas e as rela��es entre as curvas dadas por equa��es diferentes.

Hist�ria

A geometria alg�brica come�ou principalmente com a escola italiana (Giuseppe Veronese, Gino Fano, Corrado Segre, etc.) nos anos 1910 e 1920. Depois foi elevada a um nível mais abstrato por Kunihiko Kodaira e Donald Spencer, que inventaram a geometria algébrica complexa.

Uma mudança crucial foi a introdução do conceito dos feixes por Jean Leray e depois Roger Godement. Foi Jean-Pierre Serre quem relacionou a geometria algébrica à geometria analítica no seu famoso artigo GAGA (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) em 1955, generalizando um resultado por Chow. Mas a maior revolução foi a linguagem dos esquemas, no famoso EGA (elementos da geometria algébrica) por Alexander Grothendieck em 1959. O conceito dos esquemas ajudou muito a provar as conjecturas de Weil em 1978 por Pierre Deligne. A linguagem da geometria algébrica também ajudou a provar o último teorema de Fermat (por Andrew Wiles em 1993/1994).

Um caso particular da geometria algébrica é a geometria aritmética que relaciona-a à teoria dos números, e.g. o estudo das curvas elípticas.

Noções básicas

Mais informações: Variedade algébrica

Zeros de polinômios simultâneos

Na geometria algébrica clássica, os principais objectos de interesse são os conjuntos desaparecidos de coleções de polinómios, ou seja, o conjunto de todos os pontos que satisfazem simultaneamente uma ou mais equações polinomiais. Por exemplo, uma esfera bidimensional de raio 1 no espaço euclidiano tridimensional R³ poderia ser definida como o conjunto de todos os pontos (x,y,z) com

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

Um círculo "inclinado" em R³ pode ser definido como o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem as duas equações polinomiais

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

Variedades afins

Primeiro começamos com um campo k. Na geometria algébrica clássica, este campo foi sempre os números complexos C, mas muitos dos mesmos resultados são verdadeiros se assumirmos apenas que k está algebricamente fechado. Consideramos o espaço afim da dimensão n sobre k, denotado Aⁿ(k) (ou mais simplesmente Aⁿ, quando k é claro a partir do contexto). Quando se fixa um sistema de coordenadas, pode-se identificar Aⁿ(k) com kⁿ. O objetivo de não trabalhar com kⁿ é enfatizar que se "esquece" a estrutura do espaço vectorial que kⁿ transporta.

Uma função f : Aⁿ → A¹é dita polinomial (ou regular) se puder ser escrito como um polinômio, ou seja, se houver um polinômio p em k[x₁,...,x_n] tal que f(M) = p(t₁,...,t_n) para cada ponto M com coordenadas (t₁,...,t_n) em Aⁿ. A propriedade de uma função de ser polinomial (ou regular) não depende da escolha de um sistema de coordenadas em Aⁿ.

Quando se escolhe um sistema de coordenadas, as funções regulares no espaço afim podem ser identificadas com o anel de função polinomial em n variáveis sobre k. Portanto, o conjunto das funções regulares em Aⁿ é um anel, que é denotado k[Aⁿ].

Dizemos que um polinómio desaparece num ponto se a sua avaliação nesse ponto der zero. Que S seja um conjunto de polinômios em k[Aⁿ]. O conjunto de desaparição de S (ou locus de desaparição ou conjunto zero) é o conjunto V(S) de todos os pontos em Aⁿ, onde cada polinómio em S desaparece. Simbolicamente,

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ para todo }}p\in S\}.\,}$

Um subconjunto de Aⁿ que é V(S), para algum S, é chamado um conjunto algébrico. O V representa a variedade (um tipo específico de conjunto algébrico a ser definido abaixo).

Dado um subconjunto U de Aⁿ, é possível recuperar o conjunto de polinômios que o geram? Se U é qualquer subconjunto de Aⁿ, defina I(U) para ser o conjunto de todos os polinômios cujo conjunto desaparecido contém U. O I representa o ideal: se dois polin�mios f e g desaparecem em U, ent�o f+g desaparece em U, e se h � qualquer polin�mio, ent�o hf desaparece em U, ent�o I(U) � sempre um ideal do anel polinomial k[Aⁿ].

Duas quest�es naturais a colocar s�o:

Dado um subconjunto U de Aⁿ, quando � U = V(I(U))?

Dado um conjunto S de polin�mios, quando � S = I(V(S))?

A resposta � primeira pergunta � dada pela introdu��o da topologia Zariski, uma topologia sobre Aⁿ cujos conjuntos fechados s�o os conjuntos alg�bricos, e que reflete diretamente a estrutura alg�brica de k[Aⁿ]. Depois U = V(I(U)) se e s� se U for um conjunto alg�brico ou equivalente a um conjunto Zariski fechado.

A resposta � segunda pergunta � dada por Hilbert's Nullstellensatz. Numa das suas formas, diz que I(V(S)) � o radical do ideal gerado por S. Em linguagem mais abstrata, existe uma conex�o Galois, dando origem a dois operadores de fecho; eles podem ser identificados, e naturalmente desempenham um papel b�sico na teoria; o exemplo � elaborado na liga��o Galois.

Por v�rias raz�es, podemos nem sempre querer trabalhar com todo o ideal correspondente a um conjunto alg�brico do teorema de base de U. Hilbert implica que os ideais em k[Aⁿ] s�o sempre finitamente gerados.

Um conjunto alg�brico � chamado irredut�vel se n�o puder ser escrito como a uni�o de dois conjuntos alg�bricos mais pequenos. Qualquer conjunto alg�brico � uma uni�o finita de conjuntos alg�bricos irredut�veis e esta decomposi��o � �nica. Assim, os seus elementos s�o chamados os componentes irredut�veis do conjunto alg�brico. Um conjunto alg�brico irredut�vel � tamb�m chamado de variedade. Acontece que um conjunto alg�brico � uma variedade se e s� se puder ser definido como o conjunto em vias de extin��o de um ideal primordial do anel polinomial.

Alguns autores n�o fazem uma distin��o clara entre conjuntos alg�bricos e variedades e usam variedade irredut�vel para fazer a distin��o quando necess�rio.

Fun��es regulares

Tal como as fun��es cont�nuas s�o os mapas naturais em espa�os topol�gicos e as fun��es suaves s�o os mapas naturais em m�ltiplos diferenci�veis, existe uma classe natural de fun��es num conjunto alg�brico, chamadas fun��es regulares ou fun��es polinomiais. Uma fun��o regular num conjunto alg�brico V contida em Aⁿ � a restri��o a V de uma fun��o regular em Aⁿ. Para um conjunto alg�brico definido no campo dos n�meros complexos, as fun��es regulares s�o suaves e at� anal�ticas.

Pode parecer anormalmente restritivo exigir que uma fun��o regular se estenda sempre ao espa�o ambiente, mas � muito semelhante � situa��o num espa�o topol�gico normal, onde o teorema da extens�o de Tietze garante que uma fun��o cont�nua num subconjunto fechado se estende sempre ao espa�o topol�gico ambiente.

Tal como com as fun��es regulares no espa�o afim, as fun��es regulares em V formam um anel, que denotamos por k[V]. Este anel � chamado o anel de coordenadas de V.

Uma vez que as fun��es regulares em V v�m de fun��es regulares em Aⁿ, existe uma rela��o entre os an�is de coordenadas. Especificamente, se uma fun��o regular em V � a restri��o de duas fun��es f e g em k[Aⁿ], ent�o f - g � uma fun��o polinomial que � nula em V e, portanto, pertence a I(V). Assim k[V] pode ser identificado com k[Aⁿ]/I(V).

Refer�ncias

Livros cl�ssicos, anteriores ao uso de esquemas:

W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46900-7. Zbl 0796.14001
W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46901-5. Zbl 0796.14002
W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46775-6. Zbl 0796.14003

Livros texto modernos que n�o utilizam a linguagem de esquemas:

David A. Cox; John Little, Donal O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms second ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. Zbl 0861.13012
Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. [S.l.]: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8. Zbl 0836.14001
Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3. Zbl 0779.14001
David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1. Zbl 0821.14001
Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8. Zbl 0701.14001
Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. Zbl 0797.14001

Livros texto e refer�ncias para esquemas:

David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. Zbl 0960.14002
Alexander Grothendieck (1960). �l�ments de g�om�trie alg�brique. [S.l.]: Publications Math�matiques de l'IH�S. Zbl 0118.36206
Alexander Grothendieck (1971). �l�ments de g�om�trie alg�brique. 1 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-05113-9. Zbl 0203.23301
Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. Zbl 0367.14001
David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X. Zbl 0945.14001
Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and complex manifolds. 2nd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57554-5. Zbl 0797.14002

Na internet:

Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System. Em constru��o. Atualmente � de pouca utilidade para o estudo individual.
Algebraic geometryno PlanetMath
Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equationsno EqWorld: The World of Mathematical Equations